1. 家族成员简介
名称 | 全称 | 适用对象 | 结果域 | 特点 |
FT | Fourier Transform 傅里叶变换 | 连续时间、非周期信号 | 连续频率 | 最基础的“时域→频域” |
FS | Fourier Series 傅里叶级数 | 连续时间、周期信号 | 离散频率 | 周期信号可分解成若干谐波 |
DTFT | Discrete-Time Fourier Transform 离散时间傅里叶变换 | 离散时间、非周期信号 | 周期连续频率 | 频域是 2π 周期的连续函数 |
DFS | Discrete Fourier Series 离散傅里叶级数 | 离散时间、周期信号 | 离散频率 | 本质上是 DTFT 的采样版 |
DFT | Discrete Fourier Transform 离散傅里叶变换 | 有限长离散信号（假设周期延拓） | 离散频率 | 数值计算可实现 |
FFT | Fast Fourier Transform 快速傅里叶变换 | 计算方法 | 离散频率 | 计算 DFT 的快速算法（复杂度 O(NlogN)） |
2. 信号分类维度
傅里叶理论的分类，主要看两个维度：
- 时间域是连续还是离散
- 信号是周期的还是非周期的
时间域 | 周期性 | 对应变换 |
连续时间 + 非周期 | FT | |
连续时间 + 周期 | FS | |
离散时间 + 非周期 | DTFT | |
离散时间 + 周期 | DFS |
3. 它们之间的关系
可以用一张逻辑图表示：
连续非周期 (FT) <——采样时间——> 离散非周期 (DTFT) ↑ ↑ 周期化时间 (FS) <——采样时间——> 离散周期 (DFS)php111 Bytes© 菜鸟-创作你的创作- FT ↔ FS：周期化信号的 FT → 变成 FS（频域离散化）
- FT ↔ DTFT：时间离散化（采样）→ 频域周期化
- DTFT ↔ DFS：时间再周期化 → 频域再离散化
- DFT：实际上就是 DFS，但加上“有限长截断 + 计算实现”
- FFT：只是 DFT 的高效算法
4. 从 FT 到 DFT 的过程（四步走）
- 连续非周期（FT）
X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πftdtX(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2\pi f t} dt - 时间周期化 → FS
周期信号 xT(t)x_T(t) → 用谐波表示 - 时间离散化（采样）→ DTFT
X(ω)=∑n=−∞∞x[n]e−jωnX(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}，频域变成 2π 周期 - 时间有限长 + 假设周期延拓 → DFT
X[k]=∑n=0N−1x[n]e−j2πkn/NX[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2\pi k n / N}
这就是计算机能做的
5. 核心记忆口诀
时域采样 → 频域周期化
时域周期化 → 频域采样化
有限长离散信号的 DFT = 假设它是周期的 DFS
FFT 只是计算 DFT 的快刀
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