摘要

提出了一种针对物理信息随机投影神经网络（PI-RPNNs）的线性稳定性分析框架，用于求解（刚性）常微分方程初值问题（IVP）。首先证明了PI-RPNNs对ODE解的一致逼近能力，随后通过构造性证明表明PI-RPNNs可提供一致且渐近稳定的数值格式，从而保证收敛性。特别地，多配置点PI-RPNNs能够确保渐近稳定性。理论结果通过基准算例的数值解得到验证，并与后向欧拉法、中点法、梯形法则、2级高斯格式及2/3级Radau格式进行了对比。

主要内容

  1. 理论贡献
    • 一致逼近性：严格证明了PI-RPNNs对ODE解的逼近能力。
    • 稳定性与收敛性：构造性论证了PI-RPNNs格式的一致性和渐近稳定性，多配置点方法进一步强化了稳定性保证。
  4. 数值实验
    • 测试案例包括经典刚性ODE问题，对比方法涵盖后向欧拉法、中点法等传统数值格式。
    • 结果验证了PI-RPNNs在精度和稳定性上的优势，尤其在处理刚性系统时表现突出。
  7. 方法特性
    • 计算效率：随机投影结构降低了参数优化复杂度。
    • 物理信息嵌入：通过物理约束提升网络对微分方程本质特征的捕捉能力。

图表与数据

  • 图1-3：展示了PI-RPNNs在不同ODE问题中的解曲线及误差分布。
    • 对比表格：量化了PI-RPNNs与传统方法在步长变化下的稳定性阈值和收敛速率。

结论

PI-RPNNs为ODE求解提供了一种兼具理论保证和计算高效性的新途径，特别适用于刚性系统。未来工作可扩展至偏微分方程及高维问题。

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