几何分布（Geometric Distribution）是一种离散概率分布，用于描述一次次独立重复试验中，第一次成功所需的试验次数。
一、定义
在一系列独立的伯努利试验中（每次试验只有两种结果：“成功”或“失败”），设：
- 每次试验成功的概率为 p
- 失败的概率为 1−p
几何分布随机变量 X 表示第一次成功出现在哪一轮，取值为 1,2,3,…
二、概率质量函数（PMF）
几何分布的概率质量函数为：P(X=k)=(1−p)k−1⋅p,k=1,2,3,…
意思是：
- 前 k−1 次试验都失败，第 k 次试验成功
举例：
如果投掷硬币直到第一次正面朝上（成功），硬币正面概率为 p=0.5，那么：P(X=3)=(1−0.5)2⋅0.5=0.25⋅0.5=0.125
三、期望与方差
- 期望值（数学期望）：E[X]=1p
- 方差：Var(X)=1−pp2
四、分布函数（CDF）
几何分布的累计分布函数（CDF）是：P(X≤k)=1−(1−p)k
五、性质
- 记忆无关性（Memoryless）
几何分布是唯一的离散分布具有记忆无关性，即：P(X>m+n∣X>m)=P(X>n)也就是说，不管已经失败了多少次，下一次成功的概率始终不变。 - 伯努利试验模型
几何分布本质上来自重复的伯努利试验，是二项分布在“第一次成功”场景下的特例。
六、实际应用场景
场景 | 几何分布解释 |
电话客服接通成功 | 某客服拨打多少次才第一次打通 |
网络请求成功 | 网络请求重复尝试，直到第一次成功 |
工业质检 | 连续检测产品，第一次发现不合格的次数 |
游戏开箱 | 开多少次箱子才开出稀有物品 |
七、Python 示例代码
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.stats import geomp = 0.3 # 成功概率x = np.arange(1, 15)pmf = geom.pmf(x, p)plt.bar(x, pmf)plt.title(f'几何分布 PMF (p={p})')plt.xlabel('X = 第几次试验成功')plt.ylabel('P(X)')plt.grid(True)plt.show()php257 Bytes© 菜鸟-创作你的创作如果你还想了解 负几何分布（直到失败前成功的次数） 或几何分布与其他分布的关系，也可以告诉我。
https://www.52runoob.com/archives/5179
