(惯性定理、正定二次型及其判别)
数学
线性代数
惯性定理
无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化成标准型或规范型，其正项个数 $p$ 、负项个数 $q$ 都是不变的，$p$ 称为正惯性指数，$q$ 称为负惯性指数.
两个二次型（或实对称矩阵）合同的充要条件是有相同的正、负惯性指数，或有相同的秩及正（或负）惯性指数，或有相同的正、负特征值个数.
正定二次型及其判别
定义
n元二次型 $f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = x^TAx$ ，若对任意的 $x=[x_1, x_2, \cdots, x_n]^T \neq 0$ ，均有 $x^TAx > 0$ ，则称 $f$ 为正定二次型，称二次型的对应矩阵 $A$ 为**正定矩阵.
二次型正定的充要条件
n元二次型 $f = x^TAx$ 正定 $\Leftrightarrow$ 对任意 $x \neq 0$ ，有 $x^TAx > 0$ （定义）
$\Leftrightarrow f$ 的正惯性指数 $p = n$
$\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $D$ ，使 $A = D^TD$
$\Leftrightarrow A = E$
$\Leftrightarrow A$ 的特征值 $\lambda_i > 0(i = 1, 2, \cdots, n)$
$\Leftrightarrow A$ 的全部顺序主子式均大于 0.
二次型正定的必要条件
- $a_{ii} > 0(i = 1, 2, \cdots, n)$
- $|A| > 0$
英语
每日一句
A small but vocal group of Hawaiians and environmentalists have long viewed their presence as disrespect for sacred land and a painful reminder of the occupation of what was once a sovereign nation.(2017, Reading Comprehension, Part A Text 2)
词汇
vocal: adj. 大声表达的，直言不讳的；口头的，有声的 environment: n. 环保人士，环境保护者 view …… as ……: 把……看作…… presence: n. 存在；出席，在场 disrespect: n. 不尊敬，无礼 respect: n. 尊敬，尊重；方面 sacred: adj. 神圣的；宗教的 reminder: n. 引起回忆的事物，提示物 occupation: n. 侵占，占领；工作，职业 sovereign: adj. 有主权的，独立自主的
第一步：找谓语
A small but vocal group of Hawaiians and environmentalists ==have== long ==viewed== their presence as disrespect for sacred land and a painful reminder of the occupation of what ==was== once a sovereign nation.
第二步：断句
原句中存在2处谓语，包含2两件事，其谓语分别存在于以下位置：
- have viewed 为主句谓语
- was 为 what 引导的宾语从句谓语
按照标点、引导词以及谓语，可以将原句划分为以下分句：
- A small but vocal group of Hawaiians and environmentalists ==have== long ==viewed== their presence as disrespect for sacred land and a painful reminder of the occupation of —— 主句
- what ==was== once a sovereign nation. —— 宾语从句
第三步：简化
主句
A small but vocal group of Hawaiians and environmentalists have long viewed their presence as disrespect for sacred land and a painful reminder of the occupation of
- 主句主语部分：A small but vocal group of Hawaiians and environmentalists
- 不定冠词：a 修饰名词：group
- 形容词：small 与形容词：vocal 通过并列连词：but 连接，组成并列结构，共同修饰名词：group
- 名词：group 为主句主语核心词
- 介词短语：of Hawaiians and environmentalists 为后置定语，修饰名词：group
- 名词：Hawaiians 与名词：environmentalists 由并列连词：and 连接，构成并列结构，共同作为介词：of 的宾语
- 主句谓语部分：have long viewed 为及物动词的现在完成时态
- 副词：long 修饰动词：have viewed
- 主句宾语部分：their presence
- 限定词：their 修饰名词：presence
- 名词：presence 为动词：have viewed 的宾语核心词
- 主句宾语补足语部分：as disrespect for sacred land and a painful reminder of the occupation of 为宾语：presence 的补足语，补充说明：presence
- 介词短语：for sacred land 为后置定语，修饰名词：disrespect ，说明其具体对象
- 过去分词：sacred 作形容词，修饰名词：land
- 名词：land 为介词：for 的宾语
- 不定冠词：a 修饰名词：reminder
- 形容词：painful 修饰名词：reminder
- 名词：reminder 与名词：disrespect 通过并列连词：and 连接，组成并列结构，共同作为宾语：presence 的宾语补足语
- 介词短语：of the occupation of ……为后置定语，修饰名词：reminder
- 定冠词：the 修饰名词：occupation
- 名词：occupation 为介词：of 的宾语
- 介词：of 后接宾语，组成介宾结构，作为名词：occupation 的后置定语
- 介词短语：for sacred land 为后置定语，修饰名词：disrespect ，说明其具体对象
去掉主句扩展部分，就得到了主句核心：
- …… group …… have …… viewed …… presence as disrespect …… and …… reminder …… —— …… 团队 …… 已经将…… 存在视为不尊重…… 和 …… 提示物
宾语从句
what was once a sovereign nation.
- 从句引导词：what 引导宾语从句，作为介词：of 的宾语，共同作为名词：occupation 的后置定语
- 引导词：what 在从句中作主语
- 从句谓语部分：was 为系动词，后接表语
- 从句表语部分：once a sovereign nation
- 副词：once 修饰从句，说明从句的时间
- 不定冠词：a 修饰名词：nation
- 形容词：sovereign 修饰名词：nation
- 名词：nation 为从句表语核心词
去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：
- what was …… nation —— 是……国家
