Lesson5--二叉树（超详细版）

【本节目标】

1. 树概念及结构

2. 二叉树概念及结构

3. 二叉树顺序结构及实现

4. 二叉树链式结构及实现

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种 非线性（线性结构就是顺序表链表） 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点（如下图)

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

节点的度 ：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图： A 的为 6

叶节点或终端节点 ：度为 0 的节点称为叶节点；如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶节点

非终端节点或分支节点 ：度不为 0 的节点；如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支节点

双亲节点或父节点 ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图： A 是 B 的父节点

孩子节点或子节点 ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图： B 是 A 的孩子节点

兄弟节点 ：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图： B 、 C 是兄弟节点

树的度 ：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为 6

节点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推；

树的高度或深度 ：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为 4

堂兄弟节点 ：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟节点

节点的祖先 ：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图： A 是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙

森林：由 m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了， 既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系 ，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法 。

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的

2.2现实中的二叉树：

2.3 特殊的二叉树：

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说如果一个二叉树的层数为 K，且结点总数是2^k-1则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树 ：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K

的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对

应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有2^(i-1)个节点

2.若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0,度为2的分支结点个数为 n2,则有n0=n2+1

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1),(ps:log2(n+1)是log以2为底，n+1为对数）

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为i 的结点有：

1. 若 i>0 ， i 位置节点的双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根节点编号，无双亲节点

2. 若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ， 2i+1>=n 否则无左孩子

3. 若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ， 2i+2>=n 否则无右孩子

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

2. 下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（）

A 非完全二叉树

B 堆

C 队列

D 栈

3. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

4. 一棵完全二叉树的节点数位为 531 个，那么这棵树的高度为（）

A 11

B 10

C 8

D 12

5. 一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

答案：

1.B

2.A

3.A

4.B

5.B

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用 数组来存储 ，一般使用数组 只适合表示完全二叉树 ，因为不是完全二叉树会有空

间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。 二叉树顺

序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是

链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所

在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程

学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。

现实中我们通常把堆 ( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统

虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2 堆的概念及结构

选择题

1. 下列关键字序列为堆的是：（）

A 100 , 60 , 70 , 50 , 32 , 65

B 60 , 70 , 65 , 50 , 32 , 100

C 65 , 100 , 70 , 32 , 50 , 60

D 70 , 65 , 100 , 32 , 50 , 60

E 32 , 50 , 100 , 70 , 65 , 60

F 50 , 100 , 70 , 65 , 60 , 32

2. 已知小根堆为 8 , 15 , 10 , 21 , 34 , 16 , 12 ，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次数是（）。

A 1

B 2

C 3

D 4

3. 一组记录排序码为 ( 5 11 7 2 3 17 ), 则利用堆排序方法建立的初始堆为

A ( 11 5 7 2 3 17 )

B ( 11 5 7 2 17 3 )

C ( 17 11 7 2 3 5 )

D ( 17 11 7 5 3 2 )

E ( 17 7 11 3 5 2 )

F ( 17 7 11 3 2 5 )

4. 最小堆 [ 0 , 3 , 2 , 5 , 7 , 4 , 6 , 8 ], 在删除堆顶元素 0 之后，其结果是（）

A [ 3 ， 2 ， 5 ， 7 ， 4 ， 6 ， 8 ]

B [ 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 4 ， 6 ， 8 ]

C [ 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8 ， 6 ]

D [ 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ]

选择题答案

1. A

2. C

3. C

4. C

3.3 堆的实现

3.2.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array [] = { 27 , 15 , 19 , 18 , 28 , 34 , 65 , 49 , 25 , 37 };

代码：

void AdjustDown(HeapDatatype* arr, int size, int parent)//向下调整肯定是父亲找儿子
{int child = parent * 2 + 1;//通过父亲找到儿子下标的位置while (child < size){if (child+1<size && arr[child + 1] <arr[child])//这里是小堆的例子，用的是假设法，找到最小的那个孩子{child++;}if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = child * 2 + 1;}else{break;}}}

3.2.2堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

3.2.3 建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明 ( 时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果) ：

3.2.4 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

void AdjustUp(HeapDatatype* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child>0){if (arr[child] > arr[parent]){Swap(&arr[parent], &arr[child]);child = parent;parent = (parent - 1) / 2;}else{break;}}
}

3.2.5 堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size>0);Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);//交换php->size--;//删除最后一个数据AdjustDown(php->arr, php->size, 0);//向下调整
}

3.2.6 堆的代码实现

框架

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* _a;int _size;int _capacity; 
}Heap;// 堆的构建
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);

头文件

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
#include<string.h>
typedef int HeapDatatype;
struct Heap //堆的底层就是顺序表
{HeapDatatype* arr;int size;int capacity;
};
typedef struct Heap HP;void HPInit(HP* php);
void HPInitArray(HP* php,HeapDatatype* arr, int size);
void HPDestroy(HP* php);
void HPPush(HP* php, HeapDatatype x);
HeapDatatype HPTop(HP* php);
void HPPop(HP* php);
bool HPEmpty(HP* php);
void AdjustUp(HeapDatatype* arr, int child);
void AdjustDown(HeapDatatype* arr, int size, int parent);
void Swap(HeapDatatype* x, HeapDatatype* y);

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->arr = NULL;php->size = 0;php->capacity = 0;
}
void HPInitArray(HP* php, HeapDatatype* arr, int size)
{assert(php);php->arr = (HeapDatatype*)malloc(sizeof(HeapDatatype) * size);if ( php->arr==NULL){perror("malloc fail!");exit(1);}memcpy(php->arr, arr, sizeof(HeapDatatype) * size);php->capacity = php->size = size;//不好用的比较少//for (int i = 1; i < size; i++)//{//	AdjustUp(php->arr, i);//}//向下调整建堆for (int  i = (php->size-1-1)/2; i >= 0; i--){AdjustDown(php->arr, php->size, i);}
}
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->arr);php->arr = NULL;php->size = 0;php->capacity = 0;}
void Swap(HeapDatatype* x, HeapDatatype* y)
{HeapDatatype temp;temp= *x;*x = *y;*y = temp;
}
void AdjustUp(HeapDatatype* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child>0){if (arr[child] > arr[parent]){Swap(&arr[parent], &arr[child]);child = parent;parent = (parent - 1) / 2;}else{break;}}
}
void HPPush(HP* php, HeapDatatype x)
{assert(php);size_t newcapacity;if (php->size == php->capacity){if (php->capacity == 0){newcapacity = 4;}else{newcapacity = php->capacity * 2;}HeapDatatype* temp = realloc(php->arr, sizeof(HeapDatatype) * newcapacity);if (temp == NULL){perror("realloc fail!");exit(1);}php->arr = temp;php->capacity = newcapacity;}php->arr[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->arr, php->size-1);}
HeapDatatype HPTop(HP* php)
{assert(php);return php->arr[0];
}
void AdjustDown(HeapDatatype* arr, int size, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < size){if (child+1<size && arr[child + 1] <arr[child]){child++;}if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = child * 2 + 1;}else{break;}}}void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size>0);Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->arr, php->size, 0);
}
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

3.4 堆的应用

3.4.1 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

升序（小->大）：建大堆

降序（大->小）：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序

void HeapSort(int* a, int n)
{for (int i = (n-1-1)/2; i >=0; i--)//向下调整建堆{AdjustDown(a, n, i);}int end = n - 1;//最后一个数while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]); //a[0]就是最小的，最小的放在最后AdjustDown(a, end, 0);end--;}
}

3.24.2 TOP-K问题

TOP-K 问题：即求数据结合中前 K 个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大 。

比如：专业前 10 名、世界 500 强、富豪榜、游戏中前 100 的活跃玩家等。

对于 Top-K 问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了 ( 可能

数据都不能一下子全部加载到内存中 ) 。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前 K 个元素来建堆

前 k 个最大的元素，则建小堆

前 k 个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的 N-K 个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

比特就业课将剩余 N-K 个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的 K 个元素就是所求的前 K 个最小或者最大的元素。

void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{// 1. 建堆--用a中前k个元素建堆// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换
}
void TestTopk()
{int n = 10000;int* a = (int*)malloc(sizeof(int)*n);srand(time(0));for (size_t i = 0; i < n; ++i){a[i] = rand() % 1000000;}a[5] = 1000000 + 1;a[1231] = 1000000 + 2;a[531] = 1000000 + 3;a[5121] = 1000000 + 4;a[115] = 1000000 + 5;a[2335] = 1000000 + 6;a[9999] = 1000000 + 7;a[76] = 1000000 + 8;a[423] = 1000000 + 9;a[3144] = 1000000 + 10;PrintTopK(a, n, 10);
}

4.二叉树链式结构的实现

4.1 前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树

操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType _data;struct BinaryTreeNode* _left;struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;
BTNode* CreatBinaryTree()
{BTNode* node1 = BuyNode(1);BTNode* node2 = BuyNode(2);BTNode* node3 = BuyNode(3);
BTNode* node4 = BuyNode(4);BTNode* node5 = BuyNode(5);BTNode* node6 = BuyNode(6);node1->_left = node2;node1->_right = node4;node2->_left = node3;node4->_left = node5;node4->_right = node6;return node1;
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。

再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念， 二叉树是：

1. 空树

2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的

4.2二叉树的遍历

4.2.1 前序、中序以及后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓 二叉树遍历 (Traversal) 是按照某种特定的规则，依次对二叉 树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次 。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序 / 中序 / 后序的递归结构遍历 ：

1. 前序遍历 (Preorder Traversal 亦称先序遍历 )—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

2. 中序遍历 (Inorder Traversal)—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

3. 后序遍历 (Postorder Traversal)—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以 N(Node ）、 L(Left subtree ）和 R(Right subtree ）又可解释为

根、根的左子树和根的右子树 。 NLR 、 LNR 和 LRN 分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root);

void PreOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return ;}printf("%d ", root->val);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);
}
void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->val);InOrder(root->right);
}
void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->val);
}

以这棵树为例

下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似

前序遍历递归图解：

前序遍历结果： 1 2 3 4 5 6

中序遍历结果： 3 2 1 5 4 6

后序遍历结果： 3 2 5 6 4 1

4.2.2 层序遍历

层序遍历 ：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在

层数为 1 ，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第 2 层

上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

选择题

1. 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为（）

A ABDHECFG

B ABCDEFGH

C HDBEAFCG

D HDEBFGCA

2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历： EFHIGJK; 中序遍历： HFIEJKG. 则二叉树根结点为（）

A E

B F

C G

D H

3. 设一课二叉树的中序遍历序列： badce ，后序遍历序列： bdeca ，则二叉树前序遍历序列为 ____ 。

A adbce

B decab

C debac

D abcde

4. 某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出（同一层从左到右）的序列

为

A FEDCBA

B CBAFED

C DEFCBA

D ABCDEF

4.3 节点个数以及高度等

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);

int TreeSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}else{return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right)+1;}}

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}if (BinaryTreeLeafSize(root->left) == NULL && BinaryTreeLeafSize(root->right) == NULL){return 1;	}return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

int TreeLevel(BTNode* root, int k)
{assert(k > 0);if (root == NULL){return 0;}if (k == 1){return 1;}return TreeLevel(root->left, k - 1) + TreeLevel(root->right, k - 1);

int TreeLevel(BTNode* root, int k)
{assert(k > 0);if (root == NULL){return 0;}if (k == 1){return 1;}return TreeLevel(root->left, k - 1) + TreeLevel(root->right, k - 1);

4.4 二叉树基础oj练习

1. 单值二叉树。965. 单值二叉树 - 力扣（LeetCode）

2.检查两颗树是否相同。100. 相同的树 - 力扣（LeetCode）

3. 对称二叉树。 101. 对称二叉树 - 力扣（LeetCode）

4. 二叉树的前序遍历。 144. 二叉树的前序遍历 - 力扣（LeetCode）

5. 二叉树中序遍历。 94. 二叉树的中序遍历 - 力扣（LeetCode）

6. 二叉树的后序遍历。 145. 二叉树的后序遍历 - 力扣（LeetCode）

7. 另一颗树的子树。 572. 另一棵树的子树 - 力扣（LeetCode）

后续回更新怎么做

4.5 二叉树的创建和销毁

二叉树的构建及遍历。二叉树遍历_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi);
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root);