线性代数知识整理

一、求行列式

1、 套公式

（1）二阶、三阶行列式

$\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 5& 2\end{array}\right|$ = 1 * 2 - 4 * 5 = -18

$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$ = 1 * 5 * 9 + 2 * 6 * 7 + 3 * 4 * 8 - 3 * 5 * 7 - 2 * 4 * 9 - 1 * 6 * 8 = 0

（2） 三角行列式

• 主对角线行列式

  $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$ = $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \dots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$ = $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \dots & 0\\ 0& a_{22}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$ = ${\prod }_{i=1}^n{a}_{ii}$

• 副对角线行列式

  $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& 0& \dots & 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & a_{1n}\\ 0& 0& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & a_{1n}\\ 0& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& 0& \dots & 0\end{array}\right|=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod _{i=1}^n{a}_{i,n-i+1}$$

（3）行和相等

$$D=\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& c& a\\ c& a& b\end{array}\right|$$

1. 利用行和相等的性质，将第2、3列加到第1列： $$D=\left|\begin{array}{ccc}a+b+c& b& c\\ a+b+c& c& a\\ a+b+c& a& b\end{array}\right|$$

2. 提出第1列的公因子 ((a+b+c))： $$D=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 1& c& a\\ 1& a& b\end{array}\right|$$

3. 进行行变换（($r_2$ - $r_1$, $r_3$ - $r_1$)）： $$D=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 0& c-b& a-c\\ 0& a-b& b-c\end{array}\right|$$

4. 按第1列展开计算： $$D=(a+b+c)\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}c-b& a-c\\ a-b& b-c\end{array}\right|$$

5. 计算二阶行列式： $$D=(a+b+c)\left[(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)\right]$$

6. 化简最终结果： $$D=-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

（4）爪型行列式

利用斜爪消除竖爪或平爪

$D=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 0& 0\\ 1& 0& 3& 0\\ 1& 0& 0& 4\end{array}\right|$

核心思路 利用斜爪（第2行第2列、第3行第3列、第4行第4列的非零元素）消除横爪（第一行除首元素外的元素），通过行变换将行列式转化为更简单的形式。

利用斜爪主元消除第一行的横爪元素 对第一行进行行变换，减去各行与斜爪主元比值的乘积，即： $r_1=r_1-\frac{1}{2}{r}_2-\frac{1}{3}{r}_3-\frac{1}{4}{r}_4$

变换后行列式变为： $$D=\left|\begin{array}{cccc}-\frac{1}{12}& 0& 0& 0\\ 1& 2& 0& 0\\ 1& 0& 3& 0\\ 1& 0& 0& 4\end{array}\right|$$

计算下三角行列式的值 此时行列式为下三角行列式，其值等于主对角线元素的乘积： $$D=-\frac{1}{12}\times 2\times 3\times 4$$ = -2

（5）范德蒙德行列式
$$V_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{\begin{array}{c}1\le i\le j\le n\end{array}}(x_j-x_i)$$

特征：第 i 行($i=1,2\dots ,n$) 元素是 ($x_1,x_2,,x_n$) 的 i - 1次幂，呈现 “幂次递增” 的三角结构

（6） 按某一行(列)展开
$$|A|=\{\begin{array}{l}{a}_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(i=1,2,\cdots ,n),\\ a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(j=1,2,\cdots ,n).\end{array}$$

（7）拉普拉斯展开式（分块矩阵求行列式）

设 $\mathbf{A}$ 为 $m$ 阶矩阵，$\mathbf{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，则

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{C}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{C}& \mathbf{B}\end{array}\right|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|,\\ & \\ \left|\begin{array}{cc}\mathbf{O}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{O}\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{cc}\mathbf{C}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{O}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{O}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{C}\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|\mathbf{A}||\mathbf{B}|.\end{array}$$

所谓$(-1{)}^{mn}$即副对角线元素换到主对角线上，交换的次数

2、利用性质，化为可套公式

性质1：行列互换，其值不变，即$|\mathbf{A}|=|{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}|$

性质2：若行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零

性质3：若行列式中某行（列）元素有公因子k(k ≠ 0)，则k可提到行列式外面，即

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \dots & k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$$

性质4：行列式中某行（列）元素均是两个数之和，则可拆成两个行列式之和，即

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+b_{i1}& a_{i2}+b_{i2}& \dots & a_{in}+b_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{i1}& b_{i2}& \dots & b_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$$

性质5：行列式中两行（列）互换，行列式变号

性质6：行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零

性质7：行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变

3、抽象行列式

一般使用$|\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$

【例】${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3均为3维列向量，已知\mathbf{A}=[{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3],\mathbf{B}=[{\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2+2{\mathbf{\alpha }}_3,2{\mathbf{\alpha }}_1+3{\mathbf{\alpha }}_2-5{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3]且|\mathbf{A}|=2，则|\mathbf{B}-\mathbf{A}|=\underline{10}$

$$|\mathbf{B}-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}-{\mathbf{\alpha }}_2+2{\mathbf{\alpha }}_3,& 2{\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2-5{\mathbf{\alpha }}_3,& {\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3\end{array}\right|\stackrel{(\ast )}{=}\left|[{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3]\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ -1& 2& 2\\ 2& -5& -2\end{array}\right]\right|$$

$$=|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3|\left|\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ -1& 2& 2\\ 2& -5& -2\end{array}\right|=5$$

4、抽象向量

例如$|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3|=5$ 求 $[{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_1]$

方法一：利用行列式性质

方法二：化矩阵之积

$[{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3]\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right|$

二、代数余子式的线性组合

设行列式 ( D ) 为：

$D=\left|\begin{array}{cccc}1& -3& 1& -2\\ 2& -5& -2& -2\\ 0& -4& 5& 1\\ -3& 9& -6& 7\end{array}\right|$ ，其中 ( $M_{3j}$ ) 表示 ( D ) 中第 3 行第 ( j ) 列元素的余子式（j = 1,2,3,4 ），求 $M_{31}+3M_{32}-2M_{33}+2M_{34}$ 的值。

方法一：

$M_{31}+3M_{32}-2M_{33}+2M_{34}=A_{31}-3A_{32}-2A_{33}-2A_{34}$

即求$\left|\begin{array}{cccc}1& -3& 1& -2\\ 2& -5& -2& -2\\ 1& -3& -2& -2\\ -3& 9& -6& 7\end{array}\right|$ 的值，值为-3

方法二：求$A^{\ast }$

$${\mathbf{A}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)=|A|A^{-1}$$

三、求$A^n$

方法一：若r(A)=1,A可以写作$\alpha {\beta }^T$, $A^n=\alpha {\beta }^T\alpha {\beta }^T\cdot \cdot \cdot \alpha {\beta }^T=((tr(A){)}^{n-1}A$

方法二：相似对角化，$P^{-1}AP=\Lambda =>A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}$

方法三：${\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right|}^n=\left|\begin{array}{cc}{A}^n& 0\\ 0& B^n\end{array}\right|$

方法四：数学归纳法，如求$\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right|$

四、证明A可逆

​ |A| = 0

<=> A的列向量线性无关

<=> Ax=0只有零解

<=> A没有0特征值

<=> p+q=n（正负惯性指数）

五、求A的逆

1、定义法

已知矩阵满足的等式（如幂等式），通过构造 ( $\mathbf{AB}=\mathbf{E}$ ) 求逆

【例】

已知 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{E}，求(\mathbf{A}+2\mathbf{E}{)}^{-1}$

由 ${\mathbf{A}}^2-\mathbf{E}=0$，因式分解得： ${\mathbf{A}}^2-\mathbf{E}=(\mathbf{A}+2\mathbf{E})(\mathbf{A}-2\mathbf{E})+3\mathbf{E}=0$
调整后构造 $\mathbf{AB}=\mathbf{E}$：

$(\mathbf{A}+2\mathbf{E})\cdot \frac{2\mathbf{E}-\mathbf{A}}{3}=\mathbf{E}$
因此 $(\mathbf{A}+2\mathbf{E}{)}^{-1}=\frac{2\mathbf{E}-\mathbf{A}}{3}$

2、初等变换

$(\mathbf{A}\mid \mathbf{E})\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }(\mathbf{E}\mid {\mathbf{A}}^{-1})$

3、公式

二阶矩阵求逆公式： 设二阶矩阵为 $$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$ 若其行列式不等于0（即矩阵可逆），则其逆矩阵为： $${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

分块矩阵求逆

${\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& 0\\ 0& \mathbf{B}\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}^{-1}& 0\\ 0& {\mathbf{B}}^{-1}\end{array}\right)$

${\left(\begin{array}{cc}0& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& 0\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& {\mathbf{B}}^{-1}\\ {\mathbf{A}}^{-1}& 0\end{array}\right)$

六、求秩

方法一：定义法

设A是m×n矩阵，若存在k阶子式不为零，而任意k+1阶子式（如果有的话）全为零，则r(A)=k

方法二：化行阶梯矩阵

方法三：线性相关性

方法四：秩公式

设 $\mathbf{A}$ 为矩阵，以下是矩阵秩 $r(\mathbf{A}$) 的常用性质

① 0≤r(A)≤min⁡{m,n}0 \leq r(\boldsymbol{A}) \leq \min\{m, n\}0≤r(A)≤min{m,n}

② $r(k\mathbf{A})=r(\mathbf{A})(k\ne 0)$

③ r(AB)≤min⁡{r(A),r(B)}r(\boldsymbol{AB}) \leq \min\{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}r(AB)≤min{r(A),r(B)}

④对同型矩阵A、B

$r(\mathbf{A}+\mathbf{B})\le r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$

⑤ $r({\mathbf{A}}^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(\mathbf{A})=n\\ 1,& r(\mathbf{A})=n-1,其中A为n(n\ge 2)阶方阵\\ 0,& r(\mathbf{A})<n-1\end{array}$

⑥设 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$矩阵，$\mathbf{P}$ （m阶）、 $\mathbf{Q}$（ n 阶）是可逆矩阵，则：
$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{PA})=r(\mathbf{AQ})=r(\mathbf{PAQ})$

⑦ $若A_{m\times n}{B}_{n\times s}=\mathbf{O}，则r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})\le n$

⑧ $r(\mathbf{A})=r({\mathbf{A}}^{\text{T}})=r({\mathbf{A}}^{\text{T}}\mathbf{A})=r(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\text{T}})$

七、线性表示的判定

定义：

若向量β能表示成向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_m$的线性组合，即存在m个数$k_1,k_2,\cdot \cdot \cdot ，k_m$，使得$\beta =k_1{\alpha }_1,k_2{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，k_m{\alpha }_m$,则称向量β能被向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_m$线性表示

<=>秩 r(${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_m$) = r(${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_m,\beta$)

<=>方程组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_m$x = β有解

<= ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_m$线性无关，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_m，\beta$线性相关

<= m个m维${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_m$线性无关，任意m维β可被${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_m$唯一表示

【例】

向量的线性表示综合应用 已知向量组： $${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right),\mathbf{\beta }=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 1\end{array}\right)$$

回答下列问题：

1. 判断向量$\mathbf{\beta }$能否由向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$线性表示？若能，写出一个线性表示式。

2. 利用秩的关系验证第1题的结论。

3. 若存在向量$\mathbf{\gamma }$，使得${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma }$线性无关，且${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma },\mathbf{\beta }$线性相关，证明$\mathbf{\beta }$能由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma }$线性表示。

【解】

1. 判断$\mathbf{\beta }$能否由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$线性表示 假设$\mathbf{\beta }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+k_3{\mathbf{\alpha }}_3$，展开得方程组： $$\{\begin{array}{l}{k}_1+k_2+2k_3=3\\ 2k_1+k_2+3k_3=4\\ k_1+0k_2+k_3=1\end{array}$$ 对增广矩阵作初等行变换： $$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 2& 1& 3& 4\\ 1& 0& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$ 方程组有解（无穷多解），取$k_3=0$，得$k_1=1,k_2=2$，故一个线性表示式为： $$\mathbf{\beta }={\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2+0{\mathbf{\alpha }}_3$$
2. 用秩的关系验证 构造矩阵： 向量组矩阵：$\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$ 增广矩阵：$\mathbf{B}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,\mathbf{\beta })$ 由第1题的行变换结果可知： $$r(\mathbf{A})=2,r(\mathbf{B})=2$$ 根据线性表示的等价条件： $$r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)=r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,\mathbf{\beta })=2$$ 故$\mathbf{\beta }$能由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$线性表示。
3. 证明$\mathbf{\beta }$能由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma }$线性表示 已知条件： ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma }$线性无关 $⟹r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma })=3$ ， ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma },\mathbf{\beta }$线性相关 $⟹r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma },\mathbf{\beta })\le 3$ 又因为： $$r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma })\le r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma },\mathbf{\beta })$$ 所以$r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma },\mathbf{\beta })=3$，即： $$r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma })=r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma },\mathbf{\beta })$$ 根据线性表示的等价条件，$\mathbf{\beta }$能由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\gamma }$线性表示。

八、线性无关

证明**${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_n$**线性无关

<=> 定义$k_1{\alpha }_1,k_2{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，k_n{\alpha }_n=0当且仅当k_i全为0$

<=>秩r(${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_n$) = n

<=>方程 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_n$x = 0 只有零解

<=> 任意一个${\alpha }_i$均不可由其他α表示

<= |${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_n$| ≠ 0

九、求极大线性无关组

①将列向量们组成矩阵A，作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，并确定r(A)

②按列找出一个秩为r(A)的子矩阵，即为一个极大线性无关组

【例】

已知列向量组：
$${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\\ 3\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_4=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 4\\ 6\end{array}\right)$$

按以下步骤求该向量组的极大线性无关组：

1. 将列向量组成矩阵并化为行阶梯形，确定矩阵的秩；
2. 根据行阶梯形矩阵找出一个极大线性无关组。

【解】

将列向量按顺序组成矩阵 $\mathbf{A}$：
$$\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 2\\ 2& 1& 1& 5\\ 2& 2& 0& 4\\ 3& 3& 0& 6\end{array}\right)$$

对矩阵作初等行变换：
$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 2\\ 2& 1& 1& 5\\ 2& 2& 0& 4\\ 3& 3& 0& 6\end{array}\right)\underset{\begin{array}{c}{r}_2-2r_1\\ r_3-2r_1\\ r_4-3r_1\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 2\\ 0& -1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{-r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 2\\ 0& 1& -1& -1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

行阶梯形矩阵有 2个非零行，因此矩阵的秩 $r(\mathbf{A})=2$。

在行阶梯形矩阵中，非零行的首个非零元素（主元）所在的列对应原矩阵的列向量，构成极大线性无关组。

观察行阶梯形矩阵：

• 第1个主元在第1列
• 第2个主元在第2列

因此，原向量组中对应的列向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 构成一个极大线性无关组（选法不唯一）。

十、等价向量组

若

（Ⅰ）${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_s$

（Ⅱ） ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\beta }_t$

证明（Ⅰ）（Ⅱ）等价

<=>（Ⅰ）中的向量可由（Ⅱ）表出且r(Ⅰ) = r(Ⅱ)

<=>r(Ⅰ) = r(Ⅱ) = r(Ⅰ,Ⅱ)

若r(Ⅰ) = r(Ⅰ,Ⅱ)，（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示

若r(Ⅱ) = r(Ⅰ,Ⅱ)，（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示

应注意等价矩阵和等价向量组的联系和区别

【例】

已知向量组：
$$\text{（Ⅰ）}{\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$
$$\text{（Ⅱ）}{\mathbf{\beta }}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$

完成下列问题：

1. 证明向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价；
2. 说明等价向量组与等价矩阵的区别

【解】

构造矩阵 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)$ 并求秩：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\stackrel{r_3-r_1}{\to }\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& -1\end{array}\right)\stackrel{r_3+r_2}{\to }\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$
得 $r(\text{Ⅰ})=2$。

构造矩阵 $\mathbf{B}=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)$ 并求秩：
$$\begin{gathered} \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 1& 1& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)\stackrel{r_1\leftrightarrow r_2 \\ }{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 2& 1\end{array}\right)\stackrel{r_3-r_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right) \end{gathered}$$
得 $r(\text{Ⅱ})=2$

构造 $\mathbf{C}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)$，通过行变换得：
$$r(\mathbf{C})=2$$
即 $r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ})=2$。

结论：

因 $r(\text{Ⅰ})=r(\text{Ⅱ})=r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ})=2$，故向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。

对比项	等价向量组	等价矩阵
定义	互相可线性表示的向量组	经有限次初等变换可互化的矩阵
核心条件	$r(\text{Ⅰ})=r(\text{Ⅱ})=r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ})$	同型且秩相等
维度要求	向量需同维（不一定同个数）	必须同型（行数和列数均相同）
应用场景	线性表示、基变换等	矩阵秩的判定、方程组同解性等