Sylvester矩阵、子结式、辗转相除法的三者关系(第二部分)

【三者的关系】

首先，辗转相除法可以通过Sylvester矩阵进行，过程如下（以 $m = 8 、 l = 7$ 为例子）。

首先调整矩阵中 $a$ 系数到最后面几行，如下所示：

$\begin{pmatrix} a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \\ b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \end{pmatrix}\sim S^{'} = \begin{pmatrix} b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \\ a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \end{pmatrix}$

1.执行辗转相除法第一步

$F_{8} = Q_{8,7} \times F_{7} + F_{6}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \deg\left( F_{8} \right) = 8\ \ \ \ \ \ \deg\left( F_{7} \right) = 7\ \ \ \ \ \ \deg\left( F_{6} \right) = 6$

$1)^{8 \times 7}|S| = \begin{matrix} \begin{matrix} F_{7} \\ F_{7} \\ F_{7} \\ F_{7} \\ F_{7} \\ F_{7} \\ F_{7} \\ F_{7} \\ F_{8} \\ F_{8} \\ F_{8} \\ F_{8} \\ F_{8} \\ F_{8} \\ F_{8} \end{matrix} & \left| \begin{matrix} b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \\ a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \end{matrix} \right| \end{matrix} = \begin{matrix} \begin{matrix} F_{7} \\ F_{7} \\ F_{7} \\ F_{7} \\ F_{7} \\ F_{7} \\ F_{7} \\ F_{7} \\ F_{6} \\ F_{6} \\ F_{6} \\ F_{6} \\ F_{6} \\ F_{6} \\ F_{6} \end{matrix} & \left| \begin{matrix} b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \\ 0 & 0 & c_{6} & c_{5} & c_{4} & c_{3} & c_{2} & c_{1} & c_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{6} & c_{5} & c_{4} & c_{3} & c_{2} & c_{1} & c_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{6} & c_{5} & c_{4} & c_{3} & c_{2} & c_{1} & c_{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{6} & c_{5} & c_{4} & c_{3} & c_{2} & c_{1} & c_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{6} & c_{5} & c_{4} & c_{3} & c_{2} & c_{1} & c_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{6} & c_{5} & c_{4} & c_{3} & c_{2} & c_{1} & c_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{6} & c_{5} & c_{4} & c_{3} & c_{2} & c_{1} & c_{0} \end{matrix} \right| \end{matrix}$

对应子结式 $S_{6}$ ：

$S_{6} = ( - 1)^{2 \times 1}detpol\begin{pmatrix} \begin{matrix} F_{7} \\ F_{7} \\ F_{8} \end{matrix} & \begin{pmatrix} b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 \\ 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \\ a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = ( - 1)^{2 \times 1}detpol\begin{pmatrix} \begin{matrix} F_{7} \\ F_{7} \\ F_{6} \end{matrix} & \begin{pmatrix} b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 \\ 0 & b_{7} & b_{6} & b_{5} & b_{4} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \\ 0 & 0 & c_{6} & c_{5} & c_{4} & c_{3} & c_{2} & c_{1} & c_{0} \end{pmatrix} \end{pmatrix}$