题目

A sorted list A contains 1, plus some number of primes. Then, for every p < q in the list, we consider the fraction p/q.

What is the K-th smallest fraction considered? Return your answer as an array of ints, where answer[0] = p and answer[1] = q.

Examples:
Input: A = [1, 2, 3, 5], K = 3
Output: [2, 5]
Explanation:
The fractions to be considered in sorted order are:
1/5, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3.
The third fraction is 2/5.Input: A = [1, 7], K = 1
Output: [1, 7]

Note:

  • A will have length between 2 and 2000.
  • Each A[i] will be between 1 and 30000.
  • K will be between 1 and A.length * (A.length - 1) / 2.

题目大意

一个已排序好的表 A，其包含 1 和其他一些素数.  当列表中的每一个 p<q 时，我们可以构造一个分数 p/q 。

那么第 k 个最小的分数是多少呢?  以整数数组的形式返回你的答案, 这里 answer[0] = p 且 answer[1] = q.

注意:

  • A 的取值范围在 2 — 2000.
  • 每个 A[i] 的值在 1 —30000.
  • K 取值范围为 1 — A.length * (A.length - 1) / 2

解题思路

  • 给出一个从小到大排列的有序数组，数组里面的元素都是质数，请找出这个数组中的数组成的真分数从小到大排列，第 K 小的分数。
  • 这一题的暴力解法是枚举所有可能的真分数，从小到大排序，输出第 K 小的分数即可。注意排序的时候不能直接用 float 排序，需要转化成分子和分母的结构体进行排序。
  • 最优的解法是二分搜索。由于真分数都小于 1，所以二分搜索的范围是 [0,1]。每次二分出来的 mid，需要在数组里面搜索一次，找出比 mid 小的真分数个数。并记录下最大的真分数的分子和分母，动态维护最大真分数的分子和分母。如果比 mid 小的真分数个数小于 K，那么取右区间继续二分，如果比 mid 小的真分数个数大于 K，那么取左区间继续二分。直到正好找到比 mid 小的真分数个数是 K，此时维护的最大真分数的分子和分母即为答案。
  • 在已排序的矩阵中寻找最 K 小的元素这一系列的题目有：第 373 题，第 378 题，第 668 题，第 719 题，第 786 题。 第 786 题。

参考代码

package leetcodeimport ("sort"
)// 解法一 二分搜索
func kthSmallestPrimeFraction(A []int, K int) []int {low, high, n := 0.0, 1.0, len(A)// 因为是在小数内使用二分查找，无法像在整数范围内那样通过 mid+1 和边界判断来终止循环// 所以此处根据 count 来结束循环for {mid, count, p, q, j := (high+low)/2.0, 0, 0, 1, 0for i := 0; i < n; i++ {for j < n && float64(A[i]) > float64(mid)*float64(A[j]) {j++}count += n - jif j < n && q*A[i] > p*A[j] {p = A[i]q = A[j]}}if count == K {return []int{p, q}} else if count < K {low = mid} else {high = mid}}
}// 解法二 暴力解法，时间复杂度 O(n^2)
func kthSmallestPrimeFraction1(A []int, K int) []int {if len(A) == 0 || (len(A)*(len(A)-1))/2 < K {return []int{}}fractions := []Fraction{}for i := 0; i < len(A); i++ {for j := i + 1; j < len(A); j++ {fractions = append(fractions, Fraction{molecule: A[i], denominator: A[j]})}}sort.Sort(SortByFraction(fractions))return []int{fractions[K-1].molecule, fractions[K-1].denominator}
}// Fraction define
type Fraction struct {molecule    intdenominator int
}// SortByFraction define
type SortByFraction []Fractionfunc (a SortByFraction) Len() int      { return len(a) }
func (a SortByFraction) Swap(i, j int) { a[i], a[j] = a[j], a[i] }
func (a SortByFraction) Less(i, j int) bool {return a[i].molecule*a[j].denominator < a[j].molecule*a[i].denominator
}