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💥1 概述

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从测量数据开始，我们开发了一种方法来计算Koopman算子谱的细微结构，并提供了严格的收敛保证。该方法基于这样的观察：在保度测度的遍历设置中，与给定可观测量相关的谱测度的矩可以从该可观测量的单个轨迹中计算出来。有了有限数量的矩可用，我们使用经典的Christoffel-Darboux核来分离谱的原子部分和绝对连续部分，并且在矩的数量趋于无穷时支持收敛保证。此外，我们提出了一种技术来检测谱的奇异连续部分，以及两种近似谱测度的方法，在弱拓扑下保证收敛，无论奇异连续部分是否存在。所提出的方法易于实现，并且适用于大规模系统，因为计算复杂性主要由求解一个N×N的埃尔米特正定Toeplitz矩阵所主导，其中N是矩的数量，存在高效且数值稳定的算法；特别是，该方法的复杂性与底层状态空间的维度无关。我们还展示了如何从测量数据中计算出在单位圆上给定段的谱投影，从而获得明确考虑谱的点部分和连续部分的算子的有限逼近。最后，我们描述了所提出方法与所谓的Hankel动态模式分解之间的关系，提供了对Hankel DMD算子特征值行为的新见解。一些数值示例说明了该方法，包括对受盖板驱动的二维腔流的谱研究。

关键词：Koopman算子，谱分析，Christoffel-Darboux核，数据驱动方法，矩问题，Toeplitz矩阵。

光谱方法在大规模非线性动力系统的数据驱动分析中越来越受欢迎。其中，基于对Koopman算子的逼近的方法在各个领域取得了极大的成功。这个算子最初由Koopman [17] 几乎一个世纪前定义，是一个完全描述底层非线性动力系统的线性无限维算子。Koopman算子谱的逼近编码了有关底层系统动态的信息。例如，在[27]中分析了全局稳定性，而[28]处理了所谓的等稳线和等时线；在[7]中分析了遍历分区和混合性质，[18, 6]利用Koopman算子逼近进行控制，而[29]用于模型简化。最近的应用包括流体动力学[36, 2]、电力网络[32]、神经动力学[5]、能源效率[12]、分子物理学[48]和数据融合[47]。

自早期工作[29]以来，已经提出了许多用于逼近Koopman算子谱的算法，包括傅里叶平均值[29]和动态模式分解（DMD）的变体，例如[34, 47]。平均方法的好处在于它们有牢固的理论支持，具有强大的收敛结果；这种方法的局限性在于需要事先了解算子的特征值，并且这些方法不提供有关算子连续谱部分的任何信息。另一方面，类似DMD的方法不需要事先了解特征值，但它们的谱收敛性质不那么有利[19]，并且与平均方法类似，它们不系统地处理谱的连续部分。另一种方法在[13]中进行，其中通过一个正则化的对流扩散算子计算Koopman特征函数。

本文提出了一种基于新的谐波分析、数据驱动方法来逼近Koopman算子谱的方法，能够计算谱的点部分和连续部分（并提供收敛保证），从而推广了[29]的方法。我们从这样一个观察开始：在保度遍历设置中，与给定可观测量相关的谱测度的矩可以从该可观测量的单个轨迹中计算出来。因此，在这种情况下，逼近Koopman算子的谱的问题归结为从其矩重建测度的问题。由于算子是酉的，测度支持在复平面中的单位圆上，这是一个非常理解的设置，最早的结果可以追溯到经典傅里叶分析。在我们的工作中，我们利用了这一领域的现代结果在Koopman算子设置中。我们主要依赖于Christoffel-Darboux核，它允许我们逼近谱的原子部分（即特征值）以及绝对连续部分。

详细文章见第4部分。

一、引言

在复杂非线性动力系统的分析中，传统方法往往依赖于精确的数学模型，然而在许多实际应用中，系统的精确模型难以获得或过于复杂，难以进行有效分析。数据驱动方法为这类问题提供了新的解决途径，其中Koopman算子理论作为一种将非线性系统映射到无限维线性空间的方法，近年来备受关注。Koopman算子能够揭示非线性系统中隐藏的线性结构，通过谱分析可以提取系统的全局动力学信息，如稳定性、周期性及混沌行为。本文旨在探讨基于数据驱动的Koopman算子谱分析方法，包括其理论基础、数值实现及应用案例。

二、Koopman算子理论基础

2.1 Koopman算子定义

Koopman算子是一种无限维的线性算子，最初由Koopman在1931年提出。它作用于动力系统的可观测量（即系统状态的函数），将可观测量的演化过程线性化。具体而言，对于给定的动力系统，其状态空间为X，流映射为Φₜ: X → X，定义在连续时间t ∈ ℝ上。Koopman算子Uₜ作用于可观测量f: X → ℂ，满足：

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这意味着Koopman算子描述了可观测量在动力系统演化下的变化。

2.2 谱分析的重要性

Koopman算子的谱分析能够揭示系统的全局动力学特性。其特征值和特征函数编码了系统的稳定模式、周期性模式及混沌行为。例如，特征值的实部反映了模式的增长或衰减率，虚部则对应于振荡频率。通过谱分析，可以识别系统中的主导动力学模式，进而理解系统的长期行为。

三、数据驱动的Koopman算子谱分析方法

3.1 方法概述

数据驱动的Koopman算子谱分析方法基于观测数据，通过数值算法逼近Koopman算子的特征值和特征函数。这类方法的核心在于从有限的数据中提取系统的无限维动力学信息，通常涉及以下步骤：

1. 数据采集：从系统中采集时间序列数据，表示为矩阵形式，其中每一列代表一个时间点上的系统状态。
2. 数据预处理：对数据进行标准化、去噪等处理，以提高后续分析的准确性。
3. 算子逼近：利用数值算法（如动态模态分解DMD、扩展动态模态分解EDMD等）逼近Koopman算子。
4. 谱分析：计算逼近算子的特征值和特征函数，进行谱分析。

3.2 动态模态分解（DMD）

DMD是一种基于数据驱动的降维方法，通过奇异值分解（SVD）对数据矩阵进行降维，并计算系统的动态模式和对应的增长率（特征值）。DMD可以视为Koopman算子理论的一种近似方法，其核心思想是将高维数据投影到低维空间，并利用低维模型来逼近系统的动力学行为。

3.2.1 DMD算法步骤

1. 构建数据矩阵：将时间序列数据排列成两个矩阵X和Y，其中X的列是状态向量，Y的列是X中对应列的下一个时间步的状态向量。
2. SVD分解：对X进行SVD分解，得到U、Σ和V，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
3. 计算逼近算子：利用SVD分解的结果，计算逼近Koopman算子的矩阵A = Y V Σ⁻¹ Uᵀ。
4. 特征值分解：对A进行特征值分解，得到特征值和特征向量，这些特征值和特征向量对应于Koopman算子的近似特征值和特征函数。

3.3 扩展动态模态分解（EDMD）

EDMD是DMD的一种扩展，通过引入非线性可观测量（即特征函数库）来增强逼近能力。EDMD的核心思想是将状态空间提升到更高维的可观测量空间，并在该空间中应用DMD算法。

3.3.1 EDMD算法步骤

1. 选择可观测量库：选择一组非线性可观测量（如多项式、径向基函数等）构成特征函数库。
2. 构建数据矩阵：利用可观测量库计算数据矩阵Ψ(X)和Ψ(Y)，其中Ψ表示可观测量库的作用。
3. 计算逼近算子：利用最小二乘法计算逼近Koopman算子的矩阵K = Ψ(Y) Ψ(X)⁺，其中⁺表示伪逆。
4. 特征值分解：对K进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

3.4 基于矩问题的谱分析方法

近期研究提出了一种基于矩问题的数据驱动方法，通过计算与给定可观测量相关的谱测度的矩，并利用Christoffel-Darboux核分离谱的原子部分和绝对连续部分，实现了Koopman算子谱的精确逼近。该方法具有严格的收敛保证，且计算复杂性与底层状态空间的维度无关。

3.4.1 方法步骤

1. 计算谱测度的矩：从观测数据中计算与给定可观测量相关的谱测度的矩。
2. 构建Christoffel-Darboux核：利用计算得到的矩构建Christoffel-Darboux核，用于逼近谱的原子部分和绝对连续部分。
3. 谱逼近：利用Christoffel-Darboux核逼近Koopman算子的谱，得到特征值和特征函数的近似。

四、应用案例

4.1 流体力学中的应用

在流体力学中，Koopman算子谱分析被用于分析湍流的动力学行为，预测漩涡的演化。例如，利用DMD或EDMD方法从流场数据中提取主导动力学模式，揭示湍流中的相干结构及其演化规律。

4.2 神经科学中的应用

在神经科学中，Koopman算子谱分析被用于提取大脑电生理信号中的时空模式。例如，利用EDMD方法从多通道脑电图（EEG）或皮层脑电图（ECoG）数据中提取与大脑活动相关的周期性模式，帮助理解大脑的信息处理机制。

4.3 复杂网络分析

Koopman算子谱分析还被用于复杂网络的分析，特别是图论和谱聚类中。通过构建图的随机游走模型，利用Koopman算子识别图中的弱耦合集群，这些集群通常对应于动力学系统中的亚稳态。例如，在分子动力学中，Koopman算子可以用来检测蛋白质的折叠过程，揭示系统在多个亚稳态之间的过渡行为。

五、未来展望

尽管基于数据驱动的Koopman算子谱分析方法在多个领域取得了成功应用，但仍面临一些挑战和未来发展方向：

1. 高维系统分析：发展更高效的算法，处理大规模高维数据集，降低计算复杂度。
2. 非线性系统逼近：开发更有效的非线性DMD和EDMD方法，提高对复杂非线性系统的逼近能力。
3. 模型不确定性分析：结合概率方法，分析模型的不确定性对预测结果的影响，提高模型的鲁棒性。
4. 实时数据分析：发展实时数据处理和分析方法，实现对系统状态的实时监控和控制。
5. 跨学科应用：将Koopman算子谱分析方法推广到更多学科领域，如量子物理、气候科学等，推动相关领域的进步。

六、结论

基于数据驱动的Koopman算子谱分析方法为复杂非线性动力系统的分析提供了强大的工具。通过从观测数据中提取系统的无限维动力学信息，该方法能够揭示系统的全局动力学特性，如稳定性、周期性及混沌行为。随着算法和理论的不断发展，基于数据驱动的Koopman算子谱分析方法将在未来发挥越来越重要的作用，为科学研究和工程应用带来新的突破。

📚2 运行结果

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部分代码：

figure(),clf
subplot(2,2,1)
plot(theta,r1,'k','LineWidth',2),hold on
plot(linspace(0,2*pi,L),phi1,'--','LineWidth',2)
xlim([0,2*pi]), xlabel('$\theta$'), legend('analytical','Welch')
title('cat map, $\rho(g_1)$')
subplot(2,2,2)
plot(theta,r2,'k','LineWidth',2),hold on
plot(linspace(0,2*pi,L),phi2,'--','LineWidth',2)
xlim([0,2*pi]), xlabel('$\theta$'), legend('analytical','Bartlett')
title('cat map, $\rho(g_2)$')

subplot(2,2,3)
semilogy(linspace(0,2*pi*fs,L),phi3/fs,'LineWidth',2) % we have to scale according to sampling frequency
xlim([0 fs*pi])
title('Lorenz, $\rho(x_1)$'), xlabel('$\omega$')
legend('Welch')

subplot(2,2,4)
semilogy(linspace(0,ws,L),phi4*2*pi/ws,'LineWidth',2) % we have to scale according to sampling frequency
xlim([0 ws/2])
title('cavity random observable, $\rho(\psi_1)$'),xlabel('$\omega$')
legend('Welch')

end

function [Y]=LorenzData(dt,n)
%% creates samples of data from Lorenz chaotic attractor
% dt : sampling interval 
% n  : number of samples

% Lorenz chaotic model 1963
sigma=10;
rho = 28;
beta = 8/3;

Lorenz = @(x) [sigma*(x(2)-x(1)); ...
               x(1)*(rho-x(3))-x(2);...
               x(1)*x(2)-beta*x(3)];

tspan = 0:dt:(n*dt + 20);   %% allow 20 seconds of transients

x0 = [0.1;0;0.1];
[tspan,Y]= ode45(@(t,y)Lorenz(y),tspan,x0);

Y = Y(tspan>20,:);
end

function [Y]=CatMapData(n)
%% creates samples of data from Arnold's cat map
% n  : number of samples

X = zeros(2,n);

X(:,1)=[.2;.37];

for i=1:n-1
    X(:,i+1)=mod([2 1; 1 1]*X(:,i),1);
end

🎉3 参考文献

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