上周比较忙，这节讲贝尔曼方程

1.1.4 贝尔曼方程

贝尔曼方程是强化学习中用来计算状态或状态-动作对长期回报的数学公式。它有两种主要形式：

状态价值函数的贝尔曼方程：计算从某个状态开始遵循策略的期望总回报，比如在迷宫中，某个位置值多少钱。

动作价值函数的贝尔曼最优方程：计算从某个状态采取特定动作后遵循最优策略的期望回报，帮助选择最佳动作。

如何工作：

它通过递归方式工作：某个状态的价值等于即时奖励加上未来状态的折扣价值。例如，在游戏中，当前一步的奖励是10分，下一状态的价值是5分，折扣因子是0.9，那么当前状态的价值可能是10 + 0.9 × 5 = 14.5。

为什么重要：

贝尔曼方程让代理能处理不确定环境，比如环境随机变化。它是值迭代、Q学习等算法的基础，广泛用于训练AI玩游戏或机器人导航。贝尔曼方程不仅用于强化学习，在金融优化中也有类似的应用，但定义不同，比如金融中不涉及折扣因子。

马尔可夫决策过程（MDP）是强化学习的核心框架，用于建模代理与环境的交互，其中贝尔曼方程是评估策略质量和寻找最优策略的关键工具。

我们上边讲过MDP由状态空间 S 、动作空间 A 、转移概率 P 、奖励函数 R 和折扣因子 γ 组成。代理的目标是找到一个策略 π ，从每个状态开始遵循该策略，最大化期望总回报。策略 π 是一个从状态到动作的映射，可以是确定性的或随机的。

总回报通常定义为从当前时间步开始，未来所有时间步的奖励总和，公式为：

其中γ 是折扣因子，确保无限期问题的收敛。

折扣因子γ 的选择影响模型对未来奖励的重视程度。

贝尔曼方程由理查德·贝尔曼（Richard Bellman）提出，是动态规划的基础。它提供了一种递归方式来计算状态价值函数Vπ(s)或动作价值函数Qπ(s,a) ，这些函数是强化学习算法的核心。

贝尔曼方程有以下两种形式：

状态价值函数的贝尔曼方程：

定义：状态价值函数Vπ(s) 表示从状态 s 开始，遵循策略 π 后，代理所能获得的期望总回报。

数学表示：

或者展开为：

π(a∣s) 是策略 π 在状态 s 下选择动作 a 的概率。

P(s'|s,a) 是从状态 s 采取动作 a 后转移到状态 s′的概率。

R(s,a,s') 是从状态 s 采取动作 a 转移到 s′ 时的奖励。

γ 是折扣因子，介于 0 和 1 之间。

这个方程表明，某个状态的价值等于所有可能动作的加权平均，每个动作的价值又依赖于转移到下一状态的奖励和未来状态的价值。

动作价值函数的贝尔曼最优方程：

定义：动作价值函数 Qπ(s,a) 表示从状态 s 开始，首先采取动作 a ，然后遵循策略 π ，代理所能获得的期望总回报。

数学表示：

或者展开为：

一个状态-行动对 (s, a) 的价值，等于所有可能的下一个状态 s' 的价值的期望值，而下一个状态的价值又取决于策略 π 在该状态下选择不同行动的概率以及这些行动对应的动作价值。

最优形式（贝尔曼最优方程）：

其中 Q∗(s,a) 是最优动作价值函数，反映了采取动作 a 后遵循最优策略的期望回报，贝尔曼最优方程，用于 寻找最优策略 。 它的意义为，一个状态-行动对 (s, a) 的最优价值，等于所有可能的下一个状态 s' 的最优价值的期望值，而下一个状态的最优价值，是通过在下一个状态选择 最优行动 来达成的。

为什么需要贝尔曼方程？

递归计算：贝尔曼方程通过递归的方式将问题分解，使得我们无需从头计算每个状态的总回报（这可能涉及无限多的未来步骤）。它避免了从头计算每个状态的期望回报，而是用即时奖励加上折扣的未来价值。

动态规划的基础：贝尔曼方程是动态规划算法（如值迭代和策略迭代）的基础，这些算法通过迭代更新价值函数来找到最优策略。

处理不确定性：在强化学习中，环境通常是随机的（即转移概率 P(s'|s,a) 可能小于 1）。贝尔曼方程通过期望处理这种不确定性。