映射

映射：
$\sigma :M\to M^{\prime }$
$\sigma (a)=a^{\prime },a\in M,a^{\prime }\in M^{\prime }$
$a^{\prime }$是$a$在$\sigma$下的像，$a$是$a^{\prime }$在$\sigma$下的原像

$\sigma :M\to M^{\prime },\tau :M\to M^{\prime }$，若$\sigma =\tau$，则$\forall a\in M,\sigma (a)=\tau (a)$

恒等映射（单位映射）：$\sigma (a)=a,a\in M$，将$\sigma$记作$1_M$

乘积：$\tau \sigma (a)=\tau (\sigma (a))$
结合律：$(\psi \tau )\sigma =\psi (\tau \sigma )$
其中，$\sigma :M\to M^{\prime },\tau :M^{\prime }\to M^{\prime \prime },\psi :M^{\prime \prime }\to M^{\prime \prime \prime }$

$\sigma :M\to M^{\prime }$，则$\sigma (M)\subset M^{\prime }$
若$\sigma (M)=M^{\prime }$，则$\sigma$称为满射或映上的
若$\sigma (a_1)\ne \sigma (a_2),a_1,a_2\in M,a_1\ne a_2$，则$\sigma$称为单射或$1-1$的
$\sigma$既满射又单射，则$\sigma$称为双射或$1-1$对应

若$\sigma$双射，则${\sigma }^{-1}$双射，$\sigma {\sigma }^{-1}$或${\sigma }^{-1}\sigma$为恒等映射。
若$\sigma :M\to M^{\prime },\tau :M^{\prime }\to M^{\prime \prime }$双射，则$\tau \sigma$双射。

线性空间（向量空间）

线性空间$V$满足数乘与加法封闭，且满足8条运算定律，具体看我之前的笔记。
应用泛函分析—线性空间. https://leslielee.blog.csdn.net/article/details/125354138

线性空间的元素称为向量，但并非狭义的向量，线性空间举例：
$\mathbb{R}$上的全体向量
数域$F$上的全体$n$元数，$F^n$
$F[x]$
数域$F$上的全体次数小于$n$的多项式，再加上0，$F[x{]}_n$
数域$F$上的全体$m\times n$维矩阵，$P^{m\times n}$
全体实函数

线性空间的维数：$V$中线性无关的向量最大个数为$n$，则$V$为$n$维的。

$n$维线性空间$V$中的任意一组$n$个线性无关向量称为$V$一组基。

$1,x,x^2,...,x^{n-1}$是$F[x{]}_n$的一组基。在这组基下，$f(x)=a_0+a_{1}x+...+a_{n-1}{x}^{n-1}$的坐标为$(a_0,a_1,...,a_{n-1})$。
多项式又可通过泰勒展开表示：
$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+...+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a{)}^{n-1}$
因此$F[x{]}_n$的另一组基是：$1,x-a,...,(x-a{)}^{n-1}$，$f(x)$在该组基下的坐标为$(f(a),f^{\prime }(a),...,\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!})$。

维数与数域有关，举例：
复数域$\mathbb{C}$可以看作$\mathbb{C}$上的线性空间，该线性空间是一维的，其中一组基是$1$。
$\mathbb{C}$也可以看作$\mathbb{R}$上的线性空间，该线性空间是二维的，其中一组基是$1,i$。

$n$维线性空间$V$的两组基$ϵ=({ϵ}_1,...,{ϵ}_n),{ϵ}^{\prime }=({ϵ}_1^{\prime },...,{ϵ}_n^{\prime })$存在关系（基变换）：$ϵ={ϵ}^{\prime }A$，$A$称为过渡矩阵是可逆的。
$V$中的一个元素为$\alpha$，$\alpha$可以由两个基线性表出，则$\alpha =ϵa^T={ϵ}^{\prime }{b}^T$，$a=(a_1,...,a_n),b=(b_1,...,b_n)$。
联立上面的两个式子得到：
$\alpha ={ϵ}^{\prime }A{a}^T={ϵ}^{\prime }{b}^T$
进一步化简：
$A{a}^T=b^T$，这个式子称为坐标变换。

线性子空间

数域$F$上的线性空间$V$的非空子集为$W$，如果$W$对于$V$中定义的数乘与加法运算封闭且满足8条运算定律，则$W$称为$V$的（线性）子空间。
其中6条运算定律必然满足，而另外两条（加法单位元、加法逆元）只是数乘封闭的特例，因此$W$成为线性子空间只需满足：数乘封闭，加法封闭。

非平凡子空间：除去零子空间与线性空间自身之外的子空间。

举例：
$F[x{]}_n$是$F[x]$的子空间。
$s$个方程，$n$个未知数的齐次线性方程组的全部解是$F^n$的子空间（也称解空间），维数为$n-r$，$r$为系数矩阵的秩。

生成子空间：线性空间中任意一组向量${ϵ}_1,...,{ϵ}_n$的所有线性组合所组成的集合，记为$L({ϵ}_1,...,{ϵ}_n)$。
子空间$W$的一组基为${ϵ}_1,...,{ϵ}_n$，则有$W=L({ϵ}_1,...,{ϵ}_n)$

定理：${ϵ}_1,...,{ϵ}_m$是子空间$W$的一组基，则必然可以在线性空间$V$中找到$n-m$个向量${ϵ}_{m+1},...,{ϵ}_n$，使得${ϵ}_1,...,{ϵ}_n$是$V$的一组基。

定理：线性空间$V$的子空间$W_1,W_2$的交$\cap$与和$+$运算的结果也是$V$的子空间。
子空间的和： W 1 + W 2 = { ϵ 1 + ϵ 2 ∣ ∀ ϵ 1 ∈ W 1 , ∀ ϵ 2 ∈ W 2 } W_1+W_2=\set{\epsilon_1+\epsilon_2| \forall \epsilon_1\in W_1, \forall \epsilon_2\in W_2} W1​+W2​={ϵ1​+ϵ2​∣∀ϵ1​∈W1​,∀ϵ2​∈W2​}

举例：
1、三维几何空间$V$中，$W_1$是一条通过原点的直线，$W_2$是一个过原点且与$W_1$垂直的平面，则 W 1 ∩ W 2 = { 0 } , W 1 + W 2 = V W_1\cap W_2=\set{0}, W_1+W_2=V W1​∩W2​={0},W1​+W2​=V。集合 { 0 } \set{0} {0}表示原点。
2、$s$个方程$n$个未知数的齐次线性方程组的全部解是$F^n$的子空间，$t$个方程$n$个未知数的齐次线性方程组的全部解也是$F^n$的子空间，两个子空间的交是这$s+t$个齐次线性方程组的解空间。

定理：$dim(W_1)+dim(W_2)=dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)$，其中，$W_1,W_2$为线性空间$V$的子空间。
举例：
三维几何空间$V$中，$W_1,W_2$是两个过原点的平面，则$dim(W_1)+dim(W_2)=4,dim(W_1+W_2)=3,dim(W_1\cap W_2)=1$。

子空间直和：线性空间$V$的两个子空间为$W_1,W_2$，如果$W_1+W_2$中的每个向量的分解式是唯一的，则子空间和就称为直和，记作$W_1\oplus W_2$

$W_1+W_2=W_1\oplus W_2$的充要条件： W 1 ∩ W 2 = { 0 } W_1 \cap W_2 = \set{0} W1​∩W2​={0}

定理：线性空间$V$一定有两个子空间$W_1,W_2$，使得$V=W_1\oplus W_2$

同构映射的定义
数域$F$上的两个线性空间$V,V^{\prime }$，双射$\sigma :V\to V^{\prime }$，如果：
$\sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b)$，
$\sigma (ka)=k\sigma (a)$,
$a,b\in V,k\in F$
则$\sigma$称为同构映射，$V,V^{\prime }$称为同构的。

同构映射举例：向量与其坐标的对应，$\sigma :V\to F^n$。

数域$F$上任一个$n$维线性空间都与$F^n$同构。
同构的线性空间有相同的维数。
同构映射的逆，两个同构映射映射的乘积都是同构映射。

定理：数域$F$上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。