0104行列式的性质-行列式-线性代数

记

$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$ ,

$D^T=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots &a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\\cdots&\cdots&&\cdots\\a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$

行列式 $D^T称为行列式D$ 的转置行列式。

性质1 行列式与它的转置行列式相等。

$证：\\ D=det(a_{ij})的转置行列式为D^T=det(b_{ij})\\ 即D^T的(i,j)元为b_{ij},则b_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots,n),按定义\\ D^T=\sum(-1)^t b_{1p_1}b_{2p_2}\cdots b_{np_n}=\sum(-1)^t a_{p_11}a_{p_22}\cdots a_{p_nn}\\ 下证D=D^T\\ 对于行列式D的任一项\\ (-1)^t a_{1p_1}a_{ip_i}\cdots a_{jp_j}\cdots a_{np_n}\\ 其中1\cdots i\cdots j\cdots n为标准排列，t为排列p_1\cdots p_i\cdots p_j\cdots p_n的逆序数，对换元素a_{ip_i}与a_{jp_j}为\\ (-1)^t a_{1p_1}a_{jp_j}\cdots a_{ip_i}\cdots a_{np_n}\\ 这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时做了一次相应的对换。设新的行标排列1\cdots j\cdots i\cdots n的逆序数为r，则r为奇数；\\ 设新的列标排列p_1\cdots p_j\cdots p_i\cdots p_n的逆序数为t_1,则\\ (-1)^t=-(-1)^{t_1}=(-1)^r(-1)^{t_1}=(-1)^{r+t1}\\ 即对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时做了相应的对换，则行标排列与列标排列逆序数之后并不改变奇偶性。\\ 经过一次对换如此，经过多次多换依然如此。于是经过若干次对换，使\\ 列标排列p_1p_2\cdots p_n（逆序数t）变为标准排列（逆序数为0）；行标排列由标准排列变为某个新的排列，设此新的排列为q_1q_2\cdots q_n,其逆序数为s，则\\ (-1)^t a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}=(-1)^s a_{q_11}a_{q_22}\cdots a_{q_nn}\\ 又上式左边乘积的第i个元素a_{ip_i}为a_{ij}那么它必定是乘积的右边第j个元素，即a_{ip_i}=a_{ij}=a_{q_jj}.\\ 可见排列q_1q_2\cdots q_n由排列p_1p_2\cdots p_n所唯一确定\\ 综上：对于D中任一项(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}，总有且仅有D^T中的某一项(-1)^s a_{q_11}a_{q_22}\cdots a_{q_nn}与之对应且相等；反之亦然\\ 从而D=D^T$

由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质反是对行成立的对列同样也成立，反之亦然。

性质2 对换行列式的两行（列），行列式变号。

$设行列式D_1=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\\ 是由行列式D=det(a_{ij})对换i,j两行得到的，即当k\not=i,j时，b_{kp}=a_{kp};当k=i,j时，b_{ip}=a_{jp},b_{jp}=a_{ip}\\ 于是D_1=\sum(-1)^t b_{1p_1}\cdots b_{ip_i}\cdots b_{jp_j}\cdots b_{np_n}=\\ \sum(-1)^t a_{1p_1}\cdots a_{jp_i}\cdots a_{ip_j}\cdots a_{np_n}\\ 其中1\cdots i\cdots j\cdots n为标准排列，t为排列p_1\cdots p_i\cdots p_j\cdots p_n的逆序数。\\ 设排列p_1\cdots p_j\cdots p_i\cdots p_n的逆序数为t_1,则\\ (-1)^{t1}=-(-1)^t\\ \therefore D_1=-D$

以 $r_i$ 表示行列式的第 $i$ 行，，以 $c_i$ 表示行列式的第 $i$ 列。对换 $i, j$ 两行记作 $r_i\leftrightarrow r_j$ ,对换 $i, j$ l两列记作 $c_i \leftrightarrow c_j$ 。

推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。

$证:\\ 把行列式这两行对换，则D=-D\\ \therefore D=0$

性质3 行列式中某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式。

推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 $i$ 行的元素都是两数之和：

$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}+a^{'}_{i1}&a_{i2}+a^{'}_{i2}&\cdots&a_{in}+a^{'}_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\\$

则 $D$ 等于下列两个行列式之和

$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a^{'}_{i1}&a^{'}_{i2}&\cdots&a^{'}_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\\$

性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

例 $D=\begin{vmatrix}3&1&-1&2\\-5&1&3&-4\\2&0&1&-1\\1&-5&3&-3\end{vmatrix}\\$

$解：\\ D\overset{c_1\leftrightarrow c_2}{=}-\begin{vmatrix}1&3&-1&2\\1&-5&3&-4\\0&2&1&-1\\-5&1&3&-3\end{vmatrix}\\ \overset{r_2-r_1,r_4+5r_1}{=}-\begin{vmatrix}1&3&-1&2\\0&-8&4&-6\\0&2&1&-1\\0&16&-2&7\end{vmatrix}\\ \overset{\frac{1}{2}r_2,2r_3}{=}-\begin{vmatrix}1&3&-1&2\\0&-4&2&-3\\0&4&2&-2\\0&16&-2&7\end{vmatrix}\\ \overset{r_3+r_2,r_4+4r_2}{=}-\begin{vmatrix}1&3&-1&2\\0&-4&2&-3\\0&0&4&-5\\0&0&6&-5\end{vmatrix}\\ \overset{c_3\leftrightarrow c_4,r_4-r_3}{=}\begin{vmatrix}1&3&2&-1\\0&-4&-3&2\\0&0&-5&4\\0&0&0&2\end{vmatrix}\\ =40$

例计算 $\begin{vmatrix}3&1&1&1\\1&3&1&1\\1&1&3&1\\1&1&1&3\end{vmatrix}\\$
$解：\\ D\overset{r_1+r_2+r_3+r_4}{=}\begin{vmatrix}6&6&6&6\\1&3&1&1\\1&1&3&1\\1&1&1&3\end{vmatrix}\\ D\overset{r_1/6}{=}6\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&3&1&1\\1&1&3&1\\1&1&1&3\end{vmatrix}\\ D\overset{r_2-r_1,r_3-r_1,r_4-r_1}{=}6\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\end{vmatrix}\\ =48$
例9 计算 $D=\begin{vmatrix}a&b&c&d\\a&a+b&a+b+c&a+b+c+d\\a&2a+b&3a+2b+c&4a+3b+2c+d\\a&3a+b&6a+3b+c&10a+6b+3c+d\end{vmatrix}\\$
$解：\\ D\overset{r_4-r_3,r_3-r_2,r_2-r_1}{=}\begin{vmatrix}a&b&c&d\\0&a&a+b&a+b+c\\0&a&2a+b&3a+2b+c\\0&a&3a+b&6a+3b+c\end{vmatrix}\\ \overset{r_4-r_3,r_3-r_2}{=}\begin{vmatrix}a&b&c&d\\0&a&a+b&a+b+c\\0&0&a&2a+b\\0&0&a&3a+b\end{vmatrix}\\ \overset{r_4-r_3}{=}\begin{vmatrix}a&b&c&d\\0&a&a+b&a+b+c\\0&0&a&2a+b\\0&0&0&a\end{vmatrix}\\ =a^4$

注：

$r_i+r_j与r_j+r_i$ 的区别。
$r_i+kr_j$ 是约定的行列式运算记号，不能写作 $kr_j+r_i$

任何n阶行列式总能利用运算 $r_i+kr_j$ 化为上三角行列式或化为下三行列式；同样地，利用运算 $c_i+kc_j$ 也能把行列式化为上三角行列式或下三角行列式。

例10 设

$D=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}&&&&\\\vdots&&\vdots&&0&&\\a_{k1}&\cdots&a_{kk}&&&&\\c_{11}&\cdots&c_{1k}&b_{11}&\cdots&b_{1n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\c_{n1}&\cdots&c_{nk}&b_{n1}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}\\$

$D_1=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}\\\vdots&&\vdots\\a_{k1}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}, D_2=\begin{vmatrix}b_{11}&\cdots&b_{1n}\\\vdots&&\vdots\\b_{n1}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}\\$

证明： $D=D_1D_2$
$证：\\ 对D_1做运算r_i+kr_j,把D_1化为下三角行列式，设为：\\ D_1=\begin{vmatrix}p_{11}&&0\\\vdots&\ddots&\\p_{k1}&\cdots&p_{kk}\end{vmatrix}=p_{11}\cdots p_{kk}\\ 对D_2做运算c_i+kc_j,把D_2化为下三角行列式，设为：\\ D_2=\begin{vmatrix}q_{11}&&0\\\vdots&\ddots&\\q_{n1}&\cdots&q_{nn}\end{vmatrix}=q_{11}\cdots q_{nn}\\ 于是对D的前k行做r_i+kr_j,在对后n列做运算c_i+kc_j,把D化为下三角行列式\\ D=\begin{vmatrix}p_{11}&&&&&&\\\vdots&\ddots&&&0&&\\p_{k1}&\cdots&p_{kk}&&&&\\c_{11}&\cdots&c_{1k}&q_{11}&&\\\vdots&&\vdots&\vdots&\ddots&\\c_{n1}&\cdots&c_{nk}&q_{n1}&\cdots&q_{nn}\end{vmatrix}\\ \therefore D=p_{11}\cdots p_{kk}q_{11}\cdots q_{nn}=D_1D_2$