之前的博客中提到过，我学习采用的参考书是《数据结构与算法分析——C语言描述》。这门书的组织安排与国内广泛实用的教材《数据结构——C语言版》比较不同。这本书描述了一些树和二叉树的概念，举例讲解了什么是树的三种遍历之后，就开始重点讲解二叉查找树、平衡二叉树、AVL树、伸展树、B数了。这一篇博客，重点学习二叉查找树的概念和基本操作。

    大家都知道，树的定义本身就带有递归性。因此，树的很多操作都涉及到了递归。二叉查找树的定义如下：

    1.二叉查找树首先是一棵二叉树；

    2.二叉查找树除了是二叉树外，还具有以下性质：对于树中的任何一个节点X，其左子树中的所有节点的关键字均小于X的关键字的值；而其右子树中的所有关键字的值均大于X的关键字的值。下面两棵二叉树中，左边的二叉树是二叉查找树而右边的不是。

 

    二叉查找树的数据结构定义如下：

1. typedef int ElementType; 
2. typedef struct TreeNode *Position; 
3. typedef Position BiSearchTree; 
4. struct TreeNode 
5. { 
6.     ElementType Element; 
7.     BiSearchTree Left,Right; 
8. }; 

    二叉查找树的常用操作如下：

1. BiSearchTree MakeEmpty(BiSearchTree Tree); 
2. Position Find(ElementType X, BiSearchTree T); 
3. Position FindMin(BiSearchTree T); 
4. Position FindMax(BiSearchTree T); 
5. BiSearchTree Insert(ElementType X,BiSearchTree T); 
6. BiSearchTree Delete(ElementType X, BiSearchTree T); 

    二叉排序树的操作与之前学习的一些数据结构的操作相比，可能难理解一些。下面我们挑比较难的几个一一讲解。

    1.二叉查找树中查找指定的元素Find

    二叉排序树的性质是二叉排序树很多操作的基本依据。既然要查找指定元素X，先比较X与根节点元素的关系，如果刚好相等，直接返回啦；如果X小于根节点的元素值，那么去根节点的左子树中查找，也就是调用Find方法，只是传递的参数是X和根节点的左子树；如果X大于根节点的元素值，那么去根节点的右子树中查找，也就是调用Find函数，只是传递的参数是X和根节点的右子树。

    2.查找最小元素FindMin和最大元素FindMax

    这两个操作是类似的。采用迭代或者递归都可以实现，查找最小元素只需要沿着左子树访问下去，查找最大元素则相反。下面我们会分别采用递归和迭代实现这两个操作。

    3.插入操作Insert

    插入操作其实类似于查找操作，插入过过程其实就是先得找到一个合适的位置。插入其实有下面几个情况：

    (1)如果函数传进来的是空树，那么创建一棵树，将其元素值设置为X。这种情况显而易见；

    (2)如果不是空树，那就比较根节点元素值和X的大小，如果X的值小于根节点的元素值，而此时的根节点的左子树为空，那么根节点的左孩子就是X元素的归宿啦；同样的道理，如果X的值大于根节点的元素值，而此时根节点的右子树为空，那么根节点的右孩子就是X元素的归宿啦。把握住这一点其实基本上就能把握住这个操作了。文字描述可能比较抽象，下面看图：

    左边的图，如果要插入5，沿着树一直找到节点4，这时5>4并且4的右孩子为空，那么5就是4的右孩子。右边的图，要想插入8，沿着树找到9，发现8<9且9的左孩子为空，那么8就是9的左孩子。

    当然，在实现这样一个过程的时候可以使用递归。

    4.删除操作Delete

    删除操作是我认为最复杂最不好理解的一个操作。如果没有仔细想明白整个过程，上来就看代码的话可能会很晕。删除操作分两步：第一步是查找，找的过程就涉及元素值之间的比较。我们重点说找到之后的操作。假设我们找到了这个节点，现在要删除，涉及三种情况：

    (1)该节点是叶子。这还有什么好说的，直接删了一了百了；

    (2)该节点只有一个孩子节点。也不复杂，让该节点的父节点直接指向其子节点就行了。当然，也别忘了回收该节点；

    (3)该节点有两个孩子：找到该节点右子树中最小的节点，将其元素值赋给该节点，然后删除那个最小节点。这种情况看图：

 

    说了半天了，下面看看完整的代码：

1. #include <stdio.h> 
2. #include <stdlib.h> 
3.  
4. typedef int ElementType; 
5. typedef struct TreeNode *Position; 
6. typedef Position BiSearchTree; 
7. struct TreeNode 
8. { 
9.     ElementType Element; 
10.     BiSearchTree Left,Right; 
11. }; 
12.  
13. //建立一颗空树 
14. BiSearchTree MakeEmpty(BiSearchTree Tree) 
15. { 
16.     if(!Tree) 
17.     { 
18.         MakeEmpty(Tree->Left); 
19.         MakeEmpty(Tree->Right); 
20.         free(Tree); 
21.     } 
22.     return NULL; 
23. } 
24. //二叉查找树的Find操作 
25. Position Find(ElementType X, BiSearchTree T) 
26. { 
27.     if(T == NULL) 
28.     { 
29.         return NULL; 
30.     } 
31.     else 
32.     { 
33.         //关键字小于根节点的元素值 
34.         if(X < T->Element) 
35.         { 
36.             return Find(X,T->Left); 
37.         } 
38.         else if(X > T->Element) 
39.         { 
40.             return Find(X,T->Right); 
41.         } 
42.         else 
43.         { 
44.             return T; 
45.         } 
46.     } 
47. } 
48. //查找最小值:递归写法 
49. Position FindMin(BiSearchTree T) 
50. { 
51.     if(T == NULL) 
52.     { 
53.         return NULL; 
54.     } 
55.     else 
56.     { 
57.         if(T->Left == NULL)  
58.         { 
59.             return T; 
60.         }else 
61.         { 
62.             return FindMin(T->Left); 
63.         } 
64.     } 
65. } 
66.  
67. //查找最大值：非递归写法 
68. Position FindMax(BiSearchTree T) 
69. { 
70.     if(T->Right != NULL) 
71.     { 
72.         while(T->Right != NULL) 
73.         { 
74.             T = T->Right; 
75.         } 
76.     } 
77.     return T; 
78. } 
79. //插入元素X 
80. BiSearchTree Insert(ElementType X,BiSearchTree T) 
81. { 
82.     //当树为空树时 
83.     if(T == NULL) 
84.     { 
85.         T = malloc(sizeof(struct TreeNode)); 
86.         if(T == NULL) 
87.         { 
88.             fprintf(stderr,"Out of Space!!!"); 
89.         } 
90.         else 
91.         { 
92.             T->Element = X; 
93.             T->Left = NULL; 
94.             T->Right = NULL; 
95.         } 
96.     } 
97.     //树不为空时 
98.     else 
99.     { 
100.         if(X < T->Element)  
101.         { 
102.             T->Left = Insert(X,T->Left); 
103.         } 
104.         else if(X > T->Element)  
105.         { 
106.             T->Right = Insert(X,T->Right); 
107.         } 
108.         else 
109.         { 
110.             //do nothing! 
111.         } 
112.     } 
113.     return T; 
114. } 
115.  
116. //删除节点X 
117. BiSearchTree Delete(ElementType X, BiSearchTree T) 
118. { 
119.     Position TmpCell; 
120.     if(T==NULL) 
121.     { 
122.         fprintf(stderr,"Element does not exist!"); 
123.     } 
124.     else if(X < T->Element) 
125.     { 
126.         T->Left = Delete(X,T->Left); 
127.     } 
128.     else if(X > T->Element) 
129.     { 
130.         T->Right = Delete(X,T->Right); 
131.     } 
132.     else if(T->Left && T->Right) 
133.     { 
134.         TmpCell = FindMin(T->Right); 
135.         T->Element = TmpCell->Element; 
136.         T->Right = Delete(T->Element,T->Right); 
137.     } 
138.     else 
139.     { 
140.         TmpCell = T; 
141.         if(T->Left == NULL) 
142.         { 
143.             T = T->Right; 
144.         } 
145.         else if(T->Right == NULL) 
146.         { 
147.             T = T->Left; 
148.         } 
149.         free(TmpCell); 
150.     } 
151.     return T; 
152. } 
153.  
154. int main(void) 
155. { 
156.     BiSearchTree T; 
157.     int index; 
158.     int arr[10] = {10,9,8,7,6,1,2,3,4,5}; 
159.     T = NULL; 
160.     for(index=0; index < 10; index++) 
161.     { 
162.         T = Insert(arr[index],T); 
163.     } 
164.     T = Insert(18,T); 
165.     T = Insert(15,T); 
166.     printf("The minimum element is %d\n",FindMin(T)->Element); 
167.     printf("The maxmium element is %d\n",FindMax(T)->Element); 
168.     return 0; 
169. }