【平面几何】三角形的内心与内切圆（性质归纳）（上）

【平面几何】三角形的内心与内切圆（性质归纳）

注记: 三角形内切圆半径记为 $r$ , 外接圆半径记为 $R$ , 顶点 $A$ 点所对的旁切圆半径记为 $r_A$ , 以此类推.

性质1-1. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . 设直线 $EF$ 交直线 $BC$ 于 $T$ , 则 $D$ , $T$ 调和分割 $BC$ , $A D$ 交圆 $I$ 于 $P$ , $TP$ 与圆 $I$ 相切.

配图

证明: 对于 $\triangle ABC$ 和截线 $EFT$ , 由梅涅劳斯定理, $CE/EA\cdot AF/BF\cdot BT/CT=1$ , $A E = A F$ , 因此 $BT / CT = BF / CE$ , $BF = B D$ , $C D = CE$ , 所以 $BT / CT = B D / C D$ , 显然 $T$ 在 $A$ 的极线上, $A$ 在 $T$ 的极线上. $D$ 显然也在 $T$ 的极线上, 因此 $T$ 的极线是 $A D$ , $P$ 是 $T$ 的极线与圆 $I$ 的交点, 因此 $TP$ 与圆 $I$ 相切.

性质1-2. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . 连结 $A D$ 交 $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 于 $P$ , 过点 $P$ 作内切圆的切线交 $BC$ 于 $T$ , 作一条割线交圆 $I$ 于 $M$ , $N$ , 则 $BM$ , $CN$ , $A D$ 三线共点. 连结 $BM$ 交内切圆 $I$ 于 $M^{'}$ , 连结 $M^{'} T$ 交圆 $I$ 于 $N^{'}$ , 连结 $M^{'} T$ 交圆 $I$ 于 $N^{'}$ , 则 $N^{'}$ 在 $M^{'} T$ 上.

配图

证明: 证明 $N$ , $N^{'}$ , $C$ 三点共线.

由性质1可知 $EF$ 也经过点 $T$ , 下面证明四边形 $D N^{'} EN$ 为调和四边形. 显然四边形 $D M^{'} FM$ 是调和四边形, $D N^{'} / D M^{'} = D T / T M^{'}$ , $N^{'} E / M^{'} F = ET / T M^{'}$ , $D N / D M = D T / TM$ , $NE / MF = TE / TM$ , $DN'/N'E=DM'/M'F\cdot (DT/ET)$ , $DN/NE=DM/MF\cdot (DT/ET)$ , 因此 $D N^{'} / N^{'} E = D N / NE$ . 由此可知 $MN M^{'} N^{'}$ 是圆内接四边形, 由性质1可知 $A D$ 是 $T$ 的极线, 由圆内接四边形的性质可知 $M M^{'}$ , $N N^{'}$ 的交点在 $A D$ 上.

性质2. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . 连结 $A D$ 交内切圆 $I$ 于 $P$ , 连结 $PE$ , $PF$ , $D E$ , $D F$ , 则 $PF / PE = D F / D E$ (四边形 $D EPF$ 为调和四边形).

配图

证明: $\triangle APF \sim \triangle AFD \rightarrow PF/DF=AF/AD$ , 同理, $PE / E D = A E / A D$ , $A F = A E$ , 因此 $PF / F D = PE / E D$ .

性质3-1. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . 连结 $A D$ , 交圆 $I$ 于 $P$ , 交 $EF$ 于 $Q$ , 则 $A$ , $Q$ 调和分割 $D$ , $P$ .

配图

证明: $AP\cdot AD=AE^2$ , $AP/AD=AE^2/AD^2$ , $PQ/DQ=(PE\cdot \sin PEF)/ (DE\cdot \sin DEF)$ , $\sin PEF/\sin DEF=\sin PDF/\sin DPF=PF/DF=AF/AD$ , $PE / D E = A E / A D$ , 所以 $PQ/DQ=AF\cdot AE/AD^2=AE^2/AD^2$ .

性质3-2. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . 过 $I$ 作 $BC$ 的垂线 $l$ , 设 $l$ 交内切圆于 $D^{'}$ , 交 $EF$ 于 $S$ , 过 $A$ 作 $l$ 的垂线垂足为 $A^{'}$ , 则 $A^{'}$ , $S$ 调和分割 $D$ , $D^{'}$ .

配图

证明: 连结 $A D$ , 显然 $I$ 在 $l$ 上. 考虑 $S$ 的极线, $S$ 的极线显然与 $S I$ 垂直, 即与直线 $l$ 垂直. 显然 $EF$ 为 $A$ 的极线, 因此 $A$ 在 $S$ 的极线上, 因此 $S$ 的极线就是直线 $A A^{'}$ .

性质4-1. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . 连结 $A D$ , 交内切圆 $I$ 于 $P$ , 连结 $PB$ , $PC$ 分别交内切圆 $I$ 于 $G$ , $H$ , 则 $GC$ , $H B$ , $A D$ 三线共点; 四边形 $PG DH$ 为调和四边形; $GE$ , $H F$ , $A D$ 三线共点.

配图

证明: 根据赛瓦定理第一角元形式逆定理, $GC$ , $H B$ , $A D$ 三线共点 $\iff PF/FG\cdot (DG/DH)\cdot (EH/PH)=1$ , 四边形 $PF D G$ , $PE HD$ 为调和四边形, $PF / FG = P D / G D$ , $E H / P H = HD / P D$ . 由此可得到此结论.

由相似 $PG=DE\cdot PK/EK$ , $PH=PK/FK\cdot DF$ , $GD=GK/PK\cdot PE$ , $HD=HK/PK\cdot PF$ , $PG/PH=DE/DF\cdot (FK/EK)$ , $DG/DH=(PE/PF)\cdot (GK/HK)$ , 四边形 $PF D E$ 为调和四边形, 所以 $D E / D F = PE / PF$ . 由相似 $F K / E K = G K / HK$ 进而 $PG / P H = D G / DH$ , 四边形 $PG DH$ 为调和四边形.

根据赛瓦定理的逆定理, $GE$ , $H F$ , $A D$ 三线共点 $\iff PG/BG\cdot BC/CD\cdot CH/PH=1$ , 即 $PH/PG\cdot (BG/BD)\cdot (CD/CH)=1$ . $BG/BD=BD/BP=BD/(PD/GD\cdot BD)=GD/PD$ , $C D / C H = PC / C D = P D / DH$ , 即 $PH/PG\cdot (GD/DH)=1$ , 四边形 $PG DH$ 为调和四边形, 因此 $PH/PG\cdot (GD/DH)=1$ .

性质4-2. 连结 $A G$ , $A H$ 分别交内切圆 $I$ 于 $N$ , $M$ , 则 $MF$ , $NE$ , $A D$ 三线共点; $BM$ , $CN$ , $A D$ 三线共点, $GM$ , $H N$ , $EF$ , $A D$ 四线共点.

配图

证明: $GM$ , $H N$ , $EF$ , $A D$ 四线共点:

四边形 $NFGE$ , $ME H F$ 为调和四边形, 进而 $NF / GF = NE / GE = A E / A G$ , $ME / H E = MF / H F = A F / A H$ ,
$\begin{align} NF/FG\cdot (GH/MN)\cdot (EM/EH)&=(AE/AG)\cdot (AH/AN)\cdot (AF/AH)\\&=(AE^2/AH\cdot AG)(AH/AN)\\&=AE^2/(AG\cdot AN)=1 \end{align}$
由赛瓦定理第一角元形式逆定理可知 $N H$ , $MG$ , $EF$ 三点共线.

考虑内切圆的内接四边形 $NG H M$ , 设 $N H$ , $MG$ , $EF$ 的交点为 $K$ , 设 $EF$ 交 $BC$ 于 $T$ . 下面证明直线 $G H$ 也交于 $BC$ 于 $T . GC$ , $H B$ , $A D$ 三线共点, 由性质 $1$ , $B D / C D = BT / CT$ . 由赛瓦定理, $BD/CD=BG/PG\cdot (AH/HC)$
进而可知 $BG/PG\cdot (PH/CH)\cdot (BT/CT)=1$ , 由梅涅劳斯定理逆定理, $G, H, T$ 三点共线. 由圆内接四边形性质, $MN$ , $G H$ , $EF$ 三线共点, 因此 $MN$ , $G H$ , $EF$ 三线共点于 $T$ , 且 $T$ 的极线 $A D$ 过点 $K$ 和 $A$ , 证毕.

$MF$ , $NE$ , $A D$ 三线共点:
$PN/PM=(GD\cdot (AP/AG))/(HD\cdot (AP/AH))=GD/HD\cdot (AH/AG)$

$ME/FN=(EH\cdot (AM/AE))/(FG\cdot (AN/AF))=EH/FG\cdot (AM/AN)$

$PN/PM\cdot (ME/FN)\cdot (DF/DE)\\=GD/HD\cdot (EH/FG)\cdot (DF/DE)\cdot (AH/AG)\cdot (AM/AN)$

$\triangle ANM \sim \triangle AHG \rightarrow (AH/AG)\cdot (AM/AN)=1$ , 由 $N H$ , $MG$ , $EF$ 三线共点, $GD/HD\cdot (EH/FG)\cdot (DF/DE)=1$ , $PN/PM\cdot (ME/FN)\cdot (DF/DE)=1$ . 由赛瓦定理第一角元形式逆定理可知 $MF$ , $NE$ , $A D$ 三点共线.

$BM$ , $CN$ , $A D$ 三线共点证明:

结合性质1-2, 过 $BM$ , $CN$ 和内切圆的两个交点所作的直线过 $T$ , 再结合圆内接四边形性质可得此结论.

性质5. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . 射线 $A I$ 交内切圆于 $P$ , $Q$ , 则 $P$ , $Q$ 分别为 $\triangle AEF$ 的内心和旁心.

配图

证明: 不失一般性, 设 $\geq b$ . $P$ 到 $A F$ 的距离为 $r_1$ , 根据相似可知:
$r/r_1=AI/AP=\frac{r/\cos(A/2)}{r/\cos(A/2)-r}$

$r_1=r(1-\cos (A/2))=PT$ , 即 $r_1=PT$ , 因此 $P$ 是 $\triangle AEF$ 内心. $Q$ 到 $A F$ 的距离为 $r_2$ , 根据相似可知:
$r/r_2=AI/AQ=(r/\cos(A/2))/((r/\cos(A/2))+r)$

$r_2=r(1+\cos (A/2))=QT$ , 即 $r_2=QT$ , 因此 $Q$ 是 $\triangle AEF$ 旁心.

性质6. 三角形 $A BC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . 过 $B$ , $C$ 分别向 $C I$ , $B I$ 作垂线, 垂足分别为 $B^{'}$ , $C^{'}$ , 则 $B^{'}$ , $C^{'}$ 在 $EF$ 上.

配图

证明: 易证 $B$ , $B^{'}$ , $F$ , $I$ , $D$ 共圆, $\angle IFE=A/2$ , 因此 $B^{'}$ , $F$ , $E$ 共线.

配图

推论. 过点 $P$ 向 $\angle BAC$ , $\angle ACB$ 的角平分线作垂线, 垂足为 $B_1$ , $B_2$ , 连结 $B_1 B_2$ , 则 $B_1B_2// AC$ 且平分 $A B$ , $CB$ .

配图

证明: 易证 $B$ , $B_2$ , $F$ , $I$ , $D$ , $B_1$ 在以 $I O$ 为直径的圆上, $B_2$ 在直线 $EF$ 上, $B_1$ 在直线 $E D$ 上, 连结 $D F$ , $\angle FB_2=\angle FDE$ , $\angle FDE=\angle AEF$ , 因此 $B_1B_2// AC$ . 延长 $BB_2$ 交直线 $C A$ 于 $P$ , $\angle BCB_2=\angle TCB_2$ , 且 $CB_2\bot BP$ , 因此 $BB_2=PB_2$ , 又有 $B_1B_2// AC$ , 因此 $B_1B_2$ 通过 $A B$ 的中点.

性质7-1. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . 点 $M$ 为 $BC$ 的中点, $\bot BC$ 于点 $H$ , 直线 $M I$ 交 $A H$ 于 $Q$ , 则 $A Q = r$ .

配图

证明: 不失一般性, 设 $\geq b$ . 在 $A H$ 上取点 $Q^{'}$ , 使得 $A Q^{'} = r$ , 下面证明 $Q^{'}$ 即 $Q$ . $Q$ 和 $Q^{'}$ 重合的充要条件是: $I D / Q^{'} H = M D / M H$ , 下面验证其成立. $I D = r = S / p$ , $Q^{'} H = h - r = 2 S / a - S / p$ , $I D / Q^{'} H = r / (h - r) = a / (b + c)$ , $M D = a /2 - (p - c) = a /2 - (a + b - c) /2 = (c - b) /2$ , $MH=a/2-CH=a/2-h/\tan C$ , $MD/MH=(c-b)/(a-2h/\tan C)$ , 即验证: $a/(b+c)=(c-b)/(a-2h/\tan C)$
$\begin{align} c^2-b^2&=a^2-2ah/\tan C\\&=a^2-4S/\tan C\\&=a^2-2ab\sin C/\tan C\\&=a^2-2ab \cos C \end{align}$

由正弦定理可知其显然成立.

配图

性质7-2. 点 $M$ 为 $BC$ 的中点, $\bot BC$ 于点 $H$ , 内切圆 $I$ 切 $BC$ 于 $D$ , 设 $BC$ 的中点为 $M$ , $D$ 关于 $M$ 的对称点为 $D^{'}$ ( $A$ 所对旁切圆切 $BC$ 的切点), $A H$ 的中点为 $G$ , 则 $D^{'}$ , $I$ , $G$ 三点共线.

配图

证明: 不失一般性, 设 $\geq b$ . 连结 $I D$ , 命题成立的充要条件是 $G H / D^{'} H = I D / D D^{'}$ .
$\begin{align} D'H&=BC-BD'-CH\\&=a-(p-c)-b \cos C\\&=(p-b)-b(a^2+b^2+c^2)/(2ab)\\&=(c-b)p/a \end{align}$
$G H = S / a$ , $I D = r$ , $D D^{'} = 2 M D = 2 (MC - C D) = c - b$ , $G H / D^{'} H = S / [(c - b) p$ ], $I D / D D^{'} = r / (c - b)$ , 代入 $S = p r$ , 可得 $G H / D^{'} H = I D / D D^{'}$ , 证毕. ( $S$ 为 $\triangle ABC$ 面积, $r$ 为内切圆半径).

2023/11/25

性质7-3. 性质7-1对于旁心亦成立.

配图

证明: 不失一般性, 设 $\geq b$ . 在高线上取 $Q^{'}$ , 使得 $AQ'=r_B$ , 下面证明 $Q^{'}$ 即 $Q . Q$ 和 $Q^{'}$ 重合的充要条件是: $MH/(p-a/2)=(h-r_B)/r_B$ . $MH = a/2-b \cos C=(c^2-b^2)/2a$ , $h = 2 S / a$ , $r_B=2S/(a+c-b)$ , 代入得: $M H / (p - a /2) = (c - b) / a$ , $h/r_B-1=(c-b)/a$ , 显然成立.

性质7-4. 性质7-2对于旁心亦成立.

配图

证明: 不失一般性, 设 $\geq b$ . 设 $A$ 所对的旁切圆切 $BC$ 边于 $D^{'}$ , 命题成立的充要条件是 $r_A/DD'=GH/DH. r_A=S/(b+c-a)=2S/(p-a)$ , $D D^{'} = c - b$ , $G H = S / a$ , $DH = (c - b) (p - a) / (2 a)$
代入得 : $r_A/DD'=2S/[(p-a)(c-b)$ ], $G H / DH = 2 S / [(p - a) (c - b)$ ], 显然成立.

性质7-4 (拓展). $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . 外心为 $O$ , 记 $G_A$ , $G_B$ , $G_C$ 分别为 $A$ , $B$ , $C$ 所对应高线的中点, 则 $DG_A$ , $EG_B$ , $FG_C$ , $O I$ 交于一点.

配图

证明: 本结论的证明依赖于性质30的证明. 由性质7-4可知 $DG_A$ 过 $A$ 所对旁切圆的圆心 $J_A$ , 设 $O I$ 与 $DG_A$ 交于 $T$ , 设 $J_AD$ 的中点为 $R$ , 则 $\frac{r_A}{2}+R \cos A$ , $IT/OT=r/OR=r/(\frac{r_A}{2}+R \cos A)$ , 显然该比例式是性质30中所求的 $I T / T H$ 的 $2$ 倍, 由此易得此结论.

性质8-1. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . $D I$ 交 $EF$ 于 $K$ , 则 $A K$ 交 $BC$ 于 $BC$ 边的中点 $M$ .

配图

证明: 过 $P$ 作 $I P$ 的垂线交 $A B$ , $A C$ 于 $S$ , $T$ . 连结 $I E$ , $I F$ , $I S$ , $I T$ , 则 $F, P, I, S$ 四点共圆, $I, P, T, E$ 四点共圆, 则 $\angle IFP=\angle ISP=\angle IEP=\angle ITP$ , $I T = I S$ . 进而 $SP = PT$ , 显然 $ST // BC$ , 进而由相似可知, $BM = MC$ .

配图

性质8-2. $D I$ 延长线交内切圆 $I$ 于 $P$ , 直线 $A P$ 交 $BC$ 于 $\angle BAC$ 所对旁切圆的切点(记为 $Q$ ).

配图

证明: 过 $P$ 作 $BC$ 平行线交 $A B$ , $A C$ 于 $B^{'}$ , $C^{'}$ , 则 $\triangle AB'C'$ 于 $\triangle ABC$ 关于 $A$ 位似, 圆 $I$ 是 $\triangle AB'C'$ 的旁切圆, $P$ 是圆 $I$ 与 $B^{'} C^{'}$ 的切点, $Q$ 是 $P$ 的对应点, 因此 $Q$ 是 $\triangle ABC$ 关于 $\angle BAC$ 的旁切圆的切点.

推论. 设 $A P$ 与内切圆交于 $R$ , 则 $MR$ 与内切圆相切.

配图

证明: 显然 $I M$ 是 $\triangle PQD$ 的中位线, 进而 $I M // PQ$ , $\angle RIM=\angle PRI=\angle RPI=\angle DIM$ , $I R = I D$ , 因此 $\triangle IMR \simeq \triangle IMD$ , 因此 $\angle IRM=\pi/2$ , 证毕.

性质9. $\triangle ABC$ 的内切圆分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 三边于 $D$ , $E$ , $F$ , 过 $A$ 作 $BC$ 的垂线交 $EF$ 于 $H$ , $H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心的充要条件是 $\bot EF$ .

配图

证明: 连结 $A H$ , $B H$ , $C H$ , $DH$ , $I E$ , $I F$ .

充分性: $\bot AB$ , $A I // DH$ , 所以 $\angle DHC=\pi/2-\angle IAF=A/2$ , 同理, $\angle BHD=A/2$ . $DH$ 平分 $\angle BHC$ , $\angle FHB=\angle EHC=\pi/2-A/2$ , $\angle AFE=\angle AEF=\pi/2-A/2$ , $\angle ABH=\pi/2-A$ , $\angle ACH=\pi/2-A$ , 因此 $\bot AC$ , $\bot AB$ , 因此 $H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心.

必要性: $\angle FHB=\angle AFE-\angle ABH=\pi/2-A/2-(\pi/2-A)=A/2$ , $\angle IEF=A/2$ , $I E // B H$ , 同理 $I F // C H$ , $\angle BFH=\angle CEH$ , $\angle FHB=\angle CHE=A/2$ , 因此 $\triangle BFH \sim \triangle CEH$ , $B H / C H = BF / CE = B D / C D$ , 因此 $DH$ 平分 $\angle BHC$ , $DH\bot EF$ .

配图

性质10. $\angle FDE=(\angle B)/2+(\angle C)/2 = \pi/2 - \angle A/2$ .

配图

证明:
$\angle FDE=\pi-\angle FDB-\angle CDE=\pi-(\pi/2-(\angle B)/2)-(\pi/2-(\angle C)/2)=(\angle B)/2+(\angle C)/2$

性质11-1. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 三边于 $D$ , $E$ , $F$ . 过 $I$ , $B$ , $C$ 作圆分别交直线 $A B$ , $A C$ 于 $B^{'}$ , $C^{'}$ , 则 $B^{'}, C^{'}$ 分别为 $B$ , $C$ 关于 $A I$ 的对称点, 且 $B^{'} C^{'}$ 和内切圆 $I$ 相切.

配图

证明: 以 $A I$ 为对称轴, 作 $B$ , $C$ 的对称点, $B^{'}$ , $C^{'}$ , 它们分别在 $A C$ , $A B$ 上, $\angle AC'I=C/2=\angle ICB$ , 因此 $C^{'}$ 在过 $B$ , $I$ , $C$ 的圆上, 同理, $B^{'}$ 也在该圆上. 显然 $\triangle ICB \simeq \triangle IC'B'$ 互为镜像, 因此 $I$ 到 $BC$ 的距离等于 $I$ 到 $B^{'} C^{'}$ 的距离. 进而圆 $I$ 与 $C^{'} B^{'}$ 相切. 而 $C^{'}$ , $B^{'}$ 显然为 $C$ , $B$ , 证毕.

配图

推论. 过 $I$ , $B$ , $C$ 的圆关于 $A I$ 对称.

性质11-2. 过 $I$ , $B$ , $C$ 的圆以劣弧 $BC$ 的中点为圆心, 且经过 $A$ 所对的旁心 $J_a$ ; 设 $A I$ 交 $BC$ 于 $P$ , 则 $I$ , $J_a$ 调和分割 $A$ , $P$ .

配图

证明: 设劣弧 $BC$ 的中点为 $O$ , 由鸡爪定理, $O I = OB = OC$ , 因此 $O$ 为过 $I$ , $B$ , $C$ 的圆的圆心. $\angle BJ_aC=B/2+C/2=\pi/2-A/2=\pi-\angle BIC$ , 因此 $J_a$ 在圆 $O$ 上. $B I$ 平分 $\angle ABP$ , $BJ_a \bot BI$ , 因此 $I$ , $J_a$ 调和分割 $A$ , $P$ .

下面, 我们探究过 $I$ , $B$ , $C$ 的圆 $O$ 与内切圆 $I$ 的交点.

性质11-3. 设圆 $O$ 与圆 $I$ 交于 $K$ , $L$ ( $K$ 靠近 $B$ ) 两点, 则 $K L$ 到点 $D$ 的距离等于到 $EF$ 的距离. $\triangle CLD \sim \triangle CEK$ .

配图

证明: 易证 $B$ , $F$ , $I$ , $D$ 四点共圆, 由根心定理, $B I$ , $F D$ , $K L$ 三线共点, 记为 $G$ , $BF = F D$ , $F I = D I$ , 因此 $B I$ 垂直平分 $F D$ , 说明 $G$ 是 $F D$ 中点, 由此可知 $K L$ 到点 $D$ 的距离等于到 $EF$ 的距离. 记 $C K$ 交内切圆于除 $K$ 外的 $L^{'}$ 点, 由 $I K = I L$ 可知, $\angle KCI=\angle LCI$ . 因此直线 $C K$ 与直线 $C L$ 关于 $C I$ 对称, 进而 $\angle LCD=\angle ECK$ , 由切线性质可知, $CD^2=CL' \cdot CK=CL \cdot CK$ , 进而 $C K / C D = CE / C L$ , 综上, $\triangle CLD \sim \triangle CEK$ .

性质12. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 与 $BC$ , $A C$ , $A B$ 相切于 $D$ , $E$ , $F$ . 以 $A$ 为圆心, $A E$ 为半径作圆, $D E$ 交圆 $A$ 于 $G$ , $D F$ 交圆 $A$ 于 $H . H$ , $A$ , $G$ 共线且平行于 $BC$ . 2022-04-09

配图

证明: 提示: 连结 $H A$ , $H G$ , 易证 $H A // B D$ , $A G // B D$ , 证毕.

性质13. 接上文. $A D$ , 交内切圆 $I$ 于 $L$ , 连结 $H L$ , $G L$ , $F L$ , $E L$ 则 $\angle AHL = \angle ADH=\angle GDL = \angle LGA=\angle AFL=\angle AEL$ .

配图

证明: 由相切关系可知, $AE^2=AF^2=AL \cdot AD$ , 进而 $AH^2=AG^2=AL \cdot AD$ . $\triangle AHL \sim \triangle ADH$ , $\triangle AGL \sim \triangle ADG$ . 又由 $H L = G L$ 可知, $\angle AHL=\angle AGL$ , 所以 $\angle AHL = \angle ADH=\angle GDL = \angle LGA$ .

易证 $\triangle AFL \sim \triangle ADF$ , $\triangle AEL \sim \triangle ADE. \angle AFL=\angle ADF$ , $\angle AEL=\angle ADE$ , 证毕.

性质14. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 切 $A C$ , $A B$ 于 $E$ , $F$ , $D$ 为内切圆上一点, $EF$ 与 $A I$ 相交于 $K$ , 则 $\angle IAD=\angle KDI$ . 2022/04/09

配图

证明: 略.

性质15. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 与 $BC$ , $A C$ , $A B$ 相切于 $D$ , $E$ , $F$ , $EF$ 交 $BC$ 于 $T$ , 过 $D$ 作 $\bot EF$ 于 $H$ , 则 $F H / E H = B D / C D$ ( $\triangle BFH \sim \triangle CEH$ ).

配图

证明: 在 $EF$ 上取点 $H^{'}$ , 使得 $H^{'} F / H^{'} E = BF / CE$ , 连结 $H^{'} B$ , $H^{'} C$ . 又有 $\angle BFH = \angle CEH$ , 所以 $\triangle BFH \triangle CEH$ . $\angle FHB= \angle CHE$ , $B H / C H = B D / C D$ , 因此 $DH$ 平分 $\angle BHC$ . 因此 $\bot EF$ .

性质16-1. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . $A D$ 交圆 $I$ 于 $L$ , 过 $L$ 作圆 $I$ 的切线 $l$ , 直线 $D F$ 交 $l$ 于 $S$ , 直线 $D E$ 交 $l$ 于 $T$ , $l$ 交 $BC$ 于 $G$ , 则 $L$ , $G$ 调和分割 $S$ , $T$ .

配图

证明: $EF$ 过 $G$ , $D$ , $G$ 调和分割 $BC$ , 因此 $A B$ , $A D$ , $A C$ , $A T$ 是调和线束, 设 $A D$ 交 $EF$ 于 $K$ , 则 $K$ , $G$ 调和分割 $EF$ , 进而 $D F$ , $DK$ , $D E$ , $D G$ 是调和线束, 进而可得此结论.

性质16-2. $SC$ , $TB$ , $A D$ 三线共点. 2022/04/19

配图

证明: 设 $BT$ 交 $A D$ 于 $X$ , $CS$ 交 $A D$ 于 $X^{'}$

对 $\triangle LDG$ 和截线 $BXT$ 应用梅涅劳斯定理可知: $LX/XD \cdot BD/BG \cdot GT/LT =1$ .

对 $\triangle LDG$ 和截线 $S X^{'} C$ 应用梅涅劳斯定理可知: $LX′/X′D \cdot CD/CG\cdot GS/LS =1$ ,
$B D / BG = C D / CG$ , $GT / L T = GS / L S$ 因此 $L X / X D = L X^{'} / X^{'} D$ . 证毕.

性质17. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . 设 $A C$ 边上的旁切圆切点为 $E^{'}$ , 延长 $D I$ 交内切圆于 $P$ , 作直线 $A P$ 交 $A E^{'}$ 于 $L$ , 交 $BC$ 于 $Q$ (即 $BC$ 边上的旁切圆切点), 则 $A P = L Q$ .

配图

证明: 对于 $\triangle AQC$ 及截线 $E^{'} L B$ , 由梅涅劳斯定理得: $AL/LQ=CB/BQ\cdot AE'/E'C$ , $A E^{'} = CE = BQ = C D$ , 因此 $=(r/\tan C/2+r/\tan B/2)/(r/\tan A/2)$ .

过点 $P$ 作 $BC$ 的平行线分别交 $A B$ , $A C$ 于 $B^{'}$ , $C^{'}$ . 易证 $A P / PQ = A B^{'} / B B^{'} = A C^{'} / C C^{'}$ . 因此 $A P / PQ = (B B^{'} + C C^{'}) / (A B^{'} + C B^{'})$ , $B B^{'} = BF + B^{'} F$ , $C C^{'} = CE + C^{'} E$ , $A B^{'} = A F - B^{'} F$ , $A C^{'} = A E - C^{'} E$ , $B'F=r\tan B/2$ , $C'E=r\tan C/2$ .

由此可知 : $AP/PQ=(r\tan C/2+r\tan B/2+r/\tan C/2+r/\tan B/2)/(2r/\tan A/2-r\tan C/2-r\tan B/2)$ , 其中, $\tan A/2=1/\tan(B+C)/2$ , 代入后, 可以验证
$(r\tan C/2+r\tan B/2+r/\tan C/2+r/\tan B/2)/(2r/\tan A/2-r\tan C/2-r\tan B/2)\\=(r/\tan C/2+r/\tan B/2)/(r/\tan A/2)$

因此 $A P / PQ = A L / L Q$ , $A P = L Q$ .

配图

性质18. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . 则 $\triangle ABC$ 的外心 $O$ , 内心 $I$ , $\triangle DEF$ 的垂心 $P$ , 重心 $Q$ 共线. ( $D EF$ 的欧拉线)

配图

证明: 由欧拉定理可知, $I$ , $Q$ , $P$ 三点共线. 作直线 $A I$ 交 $\triangle ABC$ 的外接圆于 $M$ , 连结 $OP$ , $I D$ , $P D$ . $OM\bot BC$ , $\bot BC$ , $OM // I D$ , $\bot EF$ , $DP\bot EF$ , $M I // D P$ , 记外接圆的圆心为 $R$ , 内切圆的圆心为 $r$ , 则 $OM = R$ , $Q D = r$ . 由垂心的性质可知, $DP=EF/\tan(\angle DEF)$ , 易证 $\angle DEF=\pi/2-A/2. EF=2r \cos(A/2)$ , 则 $\sin(A/2)$ . 由鸡爪定理, $MI=MC=2R\sin A/2$ . $M I / D P = R / r = OM / I D$ , 进而 $\triangle OMI \sim \triangle IDP$ , 由此易证 $O$ , $I$ , $P$ 三点共线, 证毕.

性质19. $\triangle ABC$ 的内切圆切 $BC$ 于 $K$ , $\bot BC$ 于 $D$ , $M$ 为 $A D$ 的中点, $K M$ 交圆 $I$ 于 $N$ , 作过 $B$ , $C$ , $N$ 三点的圆 $O_1$ , 圆 $O_1$ 与圆 $I$ 内切 (称为 $A$ 对应的伪外接圆). 2022/04/16

出处: 锐角 $\triangle ABC$ 的内切圆 $\Omega$ 切 $BC$ 于点 $K$ , $A D$ 为 $\triangle ABC$ 的高, $M$ 为 $A D$ 的中点, 直线 $K M$ 交 $\Omega$ 于另一点 $N$ , 求证: $\triangle BCN$ 的外接圆与 $\Omega$ 切于点 $N$ . (2003年中国国家队培训题)

配图

证明: 作直线 $N I$ , $N K$ , 取 $BC$ 的中点 $Q$ , 并过 $Q$ 作 $BC$ 的垂线交 $N I$ , $N K$ 于 $O_1$ , $P$ . 连结 $I K$ , $IK // O_1P$ , $I N = I K$ , 所以 $O_1 P=O_1 N$ , 以 $O_1$ 为圆心作圆, 该圆与圆 $I$ 内切, 下面证明其过 $B, C$ . 下面证明 $BK \cdot CK=NK \cdot PK$ .

$B K = (p - b)$ , $C K = (p - c)$ , $PK=QK/\sin\theta$ , $\cos\theta$ . ( $\theta$ 为 $\angle NMD$ 的值, $r$ 为内切圆半径)

代入 $r = S / p$ , $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , ( $p = (a + b + c) /2$ ), $Q K = (c - b) /2$ ,

$BK \cdot CK=(p-b)(p-c)$ , $NK \cdot PK=2rQK \cdot DM/DK=(S/p)(c-b)/\tan \theta$

$\tan \theta=DK/DM$ , $DK=(p-c)-b \cos C=(p-c-(a^2+b^2+c^2)/(2ab))=(c-b)(p-a)/a$ , $D M = S / a$

代入可得: $BK \cdot CK=(S/p)(S/a)(c-b)/[(c-b)(p-a)/a]=S^2/[p(p-a)]=(p-b)(p-c)= BK \cdot CK$

因此圆 $O_1$ 过 $B, C$ . 证毕.

配图

性质20. $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC$ , $A C$ , $A B$ 于 $D$ , $E$ , $F$ . $A D$ , $BE$ , $CF$ 三线共点. 设 $D E$ 与 $A B$ 交于 $U$ , $D F$ 与 $A C$ 交于 $V$ , $EF$ 与 $BC$ 交于 $W$ , 则 $D, E, F$ 三点共线.