1、导数的概念

1.1、引例

1.1.1、变速直线运动瞬时速度

这个问题描述的是，假设有一个物品从$a$时刻一直运动到$b$时刻，如何刻画它在$(a,b)$上的某一点的速度呢？

$$s=f(t)$$

第一种情况：匀速
如果是匀速直线运动的话，即我们算出这一段路程的位移，再算出它的时间，两个相除即为速度

$$v=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

第二种情况：变速
变速运动我们想要看某一点上的瞬时速度，尝试能不能转化为第一种匀速的情况呢？
如果我们想看一点$t_0$的瞬时速度，那么我们就想到取一个$\Delta t$，如果这个$\Delta t$足够小，$t_0+\Delta t$的变化肯定小，那么它的速度变化也肯定是比较小的，也就近似可以看成是一段匀速运动

当$t_0$与$t_0+\Delta t$非常接近时，近似一个匀速运动，匀速运动的平均速度即为：
$$\frac{f(t_0+\Delta x)-f(t_0)}{\Delta x}=平均速度\approx 瞬时速度$$
而上面的接近过程就可以用极限来表示：
$$\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t}$$
此时平均速度就转化为了$t_0$这一点的瞬时速度

1.1.2、曲线的切线

$f(x)$上有两点$(x_0,f(x_0)),(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x)),$过这两点做一条直线，记为割线

割线的斜率$k_{割}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

而当$x_0+\Delta x与x_0$无限接近时按照做割线的方法再做一条线，即割线的极限，记为切线

而既然割线的斜率我们知道怎么求，那自然切线的斜率也就出来了，只要取一个极限即可

$k_{切}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

1.2、导数的定义

定义：若${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$存在
则称$f(x)$在$x_0$点可导，记作：$$f^{\prime }(x)=y\prime {|}_{x=x_0}=\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}$$
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

若以上极限不存在，则称$f(x)$在$x_0$处不可导
若极限为无穷大，则称$f(x)$在$x_0$处导数为无穷大

左导数定义：$$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

右导数定义：$$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

左右导数与导数的关系：可导$\Lleftarrow \Rrightarrow$左右导数存在且相等

区间上可导：
1、若$f(x)$开区间$(a,b)$上每一点都可导，而每一点的函数值形成的新函数我们称为导函数，记为$f^{\prime }(x),x\in (a,b)$
2、若上述区间为闭区间$[a,b]$，那么不仅要求区间内每点可导，而且还要求端点$a$右可导，端点$b$左可导

1.3、证明常用导数

(1)、$(x^{\alpha }{)}^{\prime }=a{x}^{\alpha -1}(x>0)$

【证明】
${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x{)}^{\alpha }-x^{\alpha }}{\Delta x}$
$=\frac{x^{\alpha }[(1+\frac{\Delta x}{x}{)}^{\alpha }-1]}{\Delta x}=\frac{x^{\alpha }\alpha \frac{\Delta x}{x}}{\Delta x}=\alpha x^{\alpha -1}$

(2)、$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a(a>0,a\ne 1)$

【证明】
由${\lim }_{x\to 0}{a}^x-1\sim x\ln a$
${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{a^x[a^{\Delta x}-1]}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{a^x\Delta x\ln a}{\Delta x}=a^x\ln a$

(3)、$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}(a>0,a\ne 1)$

【证明】

由${\lim }_{x\to 0}{\log }_a(1+x)\sim x\ln a$
${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{{\log }_a(x+\Delta x)-{\log }_{a}x}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{{\log }_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{\Delta x}{x\ln x}}{\Delta x}=\frac{1}{x\ln x}$

(4)、$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$

【证明】
${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}=\frac{2\sin (\frac{\Delta x}{2})\times \cos (\frac{2x+\Delta x}{2})}{\Delta x}=\frac{2\frac{\Delta x}{2}\cos (\frac{2x+\Delta x}{2})}{\Delta x}=\cos x$

(5)、$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

【证明】

${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\cos (x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}=\frac{-2\sin (\frac{2x+\Delta x}{2})\sin (\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=\frac{-2\frac{\Delta x}{2}\sin (\frac{2x+\Delta x}{2})}{\Delta x}=-\sin x$

1.4、导数的几何意义

在引例中，我们详细说过导数的几何意义
导数$f^{\prime }(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率
切线方程：$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$
法线方程：$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$

1.5、可导与连续的关系

可导 $\Rrightarrow$ 连续

【证明】
即证：${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$
$\because \Delta y=\frac{\Delta y}{\Delta x}\Delta x$
$\because \frac{\Delta y}{\Delta x}\to 0,\Delta x\to 0$
$\therefore {\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$
证毕

注意：连续无法推出可导
例如：
1、$y=|x|$在$x=0$处虽然连续，并且左右导数都存在，但它的左右导数并不相等，故不可导
2、$y=x^{\frac{1}{3}}$在$x=0$处虽然连续，并且也有一条切线y轴，但它的导数是无穷大，故也不可导
3、$y=\{\begin{array}{ll}x\sin \frac{1}{x}& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$,虽然这个函数连续，但左右导数都不存在，故不可导

2、函数的求导法则

2.1、函数的和、差、积、商的求导法则

定理1、设$u(x),v(x)$都可导,则
1、$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
2、$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
3、$(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^2}(v\ne 0)$



【证明：$(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$】
$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{u(x+\Delta x)+v(x+\Delta x)-u(x)-v(x)}{\Delta x}$
故：${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}+{\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}=u^{\prime }+v^{\prime }$
证毕

【证明：$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$】
$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$
$=\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$
故：${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)}{\Delta x}+{\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$
$=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
证毕

【证明：$(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^2}(v\ne 0)$】
$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x}=\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x}$
$=\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x)+u(x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x}$
即：${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x)+u(x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x}=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$
证毕

2.2、反函数的求导法则

定理：设区间$I$上严格单调且连续的函数$x=f(y)$在$y$处可导,且$f^{\prime }(y)\ne 0,$则它的反函数$y=f^{-1}(x)$在对应点可导，且$$(f^{-1}{)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(y)},\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$
注意：严格单调且连续是为了保证一定有反函数



$1、(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$2、(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$3、(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$4、(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$



【证明 $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$】
$y=\arcsin x$ 的反函数为 $x=\sin y$
根据反函数的求导反则：$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{(\sin y{)}^{\prime }}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
另外三个同理

2.3、复合函数的求导法则

定理(链式法则)：设$u=g(x)$在$x$可导，$y=f(u)$在对应$u$处可导，则$y=f[g(x)]$在$x$处可导，且$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)$$

2.4、基本初等函数的导数公式

$1、(C{)}^{\prime }=0$
$2、(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$
$3、(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$
$4、(e^x{)}^{\prime }=e^x$
$5、({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$
$6、(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
$7、(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
$8、(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
$9、(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$
$10、(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$
$11、(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$
$12、(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$
$13、(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$14、(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$15、(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$16、(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

3、高阶导数

在前面，我们学习了的都是一阶导数，也就是对一个函数求一次导得到的函数就叫做一阶导数

当我们对一个函数求了一次导数后，会得到一个导函数，如果这个导函数是可导的，我们再对他求导，就会得到二阶导数，以此类推

二阶导数：$(y^{\prime }{)}^{\prime }=y^{\prime \prime }=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$
三阶：$y^{\prime \prime \prime }$
四阶：$y^{(4)}$
$...$
n阶：$y^{(n)}=\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$

若$f^{(n)}(x)$在区间$I$上连续，称$f(x)$在$I$上n阶连续可导

3.1、高阶导数的公式

设$u,v$都是$n$阶可导，则：
$1、(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$
$2、Leibniz$公式$(uv{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^k$
$3、(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+n\frac{\pi }{2})$
$4、(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+n\frac{\pi }{2})$

4、隐函数和参数方程确定的函数的导数

4.1、隐函数的导数

显函数：因变量$f(x)$可以通过自变量$x$表示的函数叫做显函数
例如：$y=\cos x,y=\frac{x}{1+x}$

隐函数： 因变量$f(x)$不能通过自变量$x$表示出来叫做隐函数
例如：$3y+x+1=0$

上述的隐函数可以显化为显函数$y=-\frac{x+1}{3}$

但并不是每一个隐函数都可以显化为显函数的
例如：$y-x-ϵ\sin y=0(0<ϵ<1)$

那么，既然有上述这种很难显化的隐函数，那么我们就要确定一种隐函数的通用求导法则，即：
$F(x,y)=0,y=f(x),F(x,f(x))=0$
此时两边同时对x求导，即可

例如：求由方程$y^5+2y-x=0$确定的隐函数$y=f(x)$的导数
解：$(y^5+2y-x{)}^{\prime }=5y^4{y}^{\prime }+2y^{\prime }-1$
$y^{\prime }(5y^4+2)=1$
$y^{\prime }=\frac{1}{5y^4+2}$

4.2、由参数方程所确定的函数的导数

定理：设$x=\phi (t),y=\psi (t)$在$(\alpha ,\beta )$上可导，${\phi }^{\prime }(t)\ne 0,$则$$\frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$$
若 $\phi (t),\psi (t)$二阶可导，则$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\phi }^{\prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime 3}(t)}$$

首先根据条件：${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$我们可以得到$\phi (t)$在$(\alpha ,\beta )$上是单调的，那么$x=\phi (t)$就有反函数$t={\phi }^{-1}(x)$
$①y=\psi (t),②t={\phi }^{-1}(x)$
由①②得它的导数为$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$
而若$\psi (t),\phi (t)$二阶可导，则两边再同时对x求一次导得：
$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dt}(\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)})\times \frac{dt}{dx}$
$=\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\phi }^{\prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime 2}(t)}\times \frac{1}{{\phi }^{\prime }(t)}$

4.3、相关变化率

相变变化率：即$x=x(t),y=y(t)$，并且$x$和$y$之间又满足某种关系$F(x,y)=0$,那么我们如果知道了$x/y$中任意一个变量对t的变化率就可以求出另一个变量与t之间的变化率

例：设有一个倒置的圆锥形容器，其底面圆直径为10cm，高为5cm，现以每秒3cm${}^3$给容器中加水，试求t = 1秒时水面上升的速率

【解】
设水的高度为$h(t)$,则水的体积$V(t)=\frac{\pi }{3}{h}^2(t)\times h(t)$
$V^{\prime }(t)=\pi h^2(t)\frac{dh}{dt}=3$
由题得：$V(1)=3=\frac{\pi }{3}{h}^3(1),h(1){=}^3\sqrt{\frac{9}{\pi }}$
那么$V^{\prime }(1)=3=\pi (\frac{9}{\pi }{)}^{\frac{2}{3}}\frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt}=\frac{3}{\pi }(\frac{9}{\pi }{)}^{-\frac{2}{3}}$

相关变化率解题方法：
1.先建立两个相关变化率的关系式$F(x,y)$如例题中的体积变化率与高度变化率的关系
2.两边同时对t求导，得到未知相关变化率

5、函数的微分

5.1、引例

当我们得到一个函数时，我们需要计算它从某点$x_0$经过一个变化到达$x_0+\Delta x$时的函数值的改变量
例如：$f(x)=x^2$
函数改变量：$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$
其中$x_0$是定点，$\Delta x$是动点
$\Delta y=(x_0+\Delta x{)}^2-(x_0{)}^2=2x_0\Delta x+(\Delta x{)}^2$
我们观察上述式子，$(\Delta x{)}^2$其实是$\Delta x$的高阶无穷小，$2x_0\Delta x$其实才是$\Delta x$的同阶无穷小
那么$\Delta y\approx 2x_0\Delta x$

5.2、定义

微分的定义：若$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$则称$f(x)$在$x_0$点可微，$A\Delta x$称为$f(x)$在$x_0$点的微分，记为：$$dy=A\Delta x$$

1.$A\Delta x$是 $\Delta x$的线性函数
2.$A\Delta x$是$\Delta x$的同阶无穷小(主要部分)，$o(\Delta x)$是$\Delta x$的高阶无穷小
3.$dy$是$\Delta y$的线性主部

5.3、可微与可导

定理：函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微的充分必要条件是$f(x)$在点$x_0$处可导，且有$dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x=f^{\prime }(x)dx$

证明：可导$\Rrightarrow$可微

$f(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)+\alpha (x)$
${\lim }_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\Delta x+\alpha (x)\Delta x=f^{\prime }(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$

证明：可导$\Lleftarrow$可微

$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$
$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$

5.4、微分的几何意义

导数的几何意义在一点处的导数就是这一点切线的斜率，就是图中的$\tan \alpha$
$\tan \alpha =\frac{dy}{\Delta x},dy=tan\alpha \Delta x=f^{\prime }(x)\Delta x$
微分$dy=f^{\prime }(x)dx$在几何上表示曲线$y=f(x)$的切线上的增量

用通俗的语言来说，函数在这一点处的微分$dy$表示的是在这一点的切线上两个函数值之间的差，而$\Delta y$表示的是在这一曲线上两个函数值之间的差，$\Delta y$是精确值，而$dy$是近似值，微分的思想就是把曲线用值线表示，把非均匀变化用均匀变化表示

5.5、微分的运算法则

设$u$和$v$都可微，则：
1、$d(u\pm v)=du\pm dv$
2、$d(uv)=vdu+udv$
3、$d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}(v\ne 0)$

复合函数微分法则
设$y=f(u)$可微，$u=g(x)$可微，则$y=f(g(x))$可微，且$dy=y_x^{\prime }dx=y_u^{\prime }{u}_x^{\prime }dx=y_u^{\prime }du$

$dy=$中间变量导数✖中间变量微分=自变量导数✖自变量微分
我们把这个性质就叫做微分形式不变性