问题7：左端固定、右端自由梁的振动分析

考虑梁的振动方程：
$$u_{tt}+K{u}_{xxxx}=0,0<x<l,K>0$$
边界条件：

• 左端固定（位移和斜率为零）：$$u(0,t)=0$$, $$u_x(0,t)=0$$
• 右端自由（无弯矩和剪力）：$$u_{xx}(l,t)=0$$, $$u_{xxx}(l,t)=0$$

(a) 频率方程和特征函数

分离变量：$$u(x,t)=X(x)T(t)$$。空间方程为：
$$X^{(4)}-{\mu }^{4}X=0,{\mu }^4=\frac{\lambda }{K}$$
通解：
$$X(x)=A\cos (\mu x)+B\sin (\mu x)+C\cosh (\mu x)+D\sinh (\mu x)$$

边界条件应用：

1. $$X(0)=0$$：
   $$A+C=0⟹C=-A$$
2. $$X^{\prime }(0)=0$$：
   $$\mu (B+D)=0⟹D=-B$$
3. $$X^{\prime \prime }(l)=0$$：
   $$-{\mu }^{2}A\cos (\mu l)-{\mu }^{2}B\sin (\mu l)+{\mu }^{2}A\cosh (\mu l)+{\mu }^{2}B\sinh (\mu l)=0$$
4. $$X^{\prime \prime \prime }(l)=0$$：
   $${\mu }^{3}A\sin (\mu l)-{\mu }^{3}B\cos (\mu l)+{\mu }^{3}A\sinh (\mu l)+{\mu }^{3}B\cosh (\mu l)=0$$

设 $$\beta =\mu l$$，得齐次系统：
$$\{\begin{array}{l}A(\cosh \beta -\cos \beta )+B(\sinh \beta -\sin \beta )=0\\ A(\sin \beta +\sinh \beta )+B(\cosh \beta -\cos \beta )=0\end{array}$$
非零解要求行列式为零：
$$(\cosh \beta -\cos \beta {)}^2-(\sinh \beta -\sin \beta )(\sin \beta +\sinh \beta )=0$$
化简得频率方程：
$$\cosh \beta \cos \beta =1,\beta =\mu l$$

特征值和特征函数：

• 方程 $$\cosh \beta \cos \beta =1$$ 的正根 $${\beta }_n$$（$${\beta }_1\approx 4.730$$, $${\beta }_2\approx 7.853$$, $${\beta }_3\approx 10.996$$, …）
• 特征值：$${\lambda }_n=K{\mu }_n^4=K({\beta }_n/l{)}^4$$
• 角频率：$${\omega }_n=\sqrt{{\lambda }_n}=\sqrt{K}({\beta }_n/l{)}^2$$
• 特征函数：
  $$X_n(x)=\cos ({\mu }_{n}x)-\cosh ({\mu }_{n}x)+b_n\left[\sin ({\mu }_{n}x)-\sinh ({\mu }_{n}x)\right]$$
  其中 $${\mu }_n={\beta }_n/l$$，$$b_n=-\frac{\cosh {\beta }_n-\cos {\beta }_n}{\sinh {\beta }_n-\sin {\beta }_n}$$

注意：无零特征值（$$\lambda =0$$ 仅给出平凡解）。

(b) 图形化求解频率方程

定义函数：
$$f(\beta )=\cosh \beta \cos \beta -1$$
绘制 $$f(\beta )$$ 的图像，其与 $$\beta$$ 轴的交点 $$({\beta }_n,0)$$ 给出频率 $${\omega }_n=\sqrt{K}({\beta }_n/l{)}^2$$。

• 根的位置：
  $${\beta }_1\approx 4.730$$（在 $$\pi \approx 3.14$$ 和 $$3\pi /2\approx 4.71$$ 之间），
  $${\beta }_2\approx 7.853$$（在 $$2\pi \approx 6.28$$ 和 $$5\pi /2\approx 7.85$$ 之间），
  $${\beta }_3\approx 10.996$$（在 $$3\pi \approx 9.42$$ 和 $$7\pi /2\approx 10.99$$ 之间）。

Python 绘图代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltbeta = np.linspace(0, 15, 1000)
f = np.cosh(beta) * np.cos(beta) - 1plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(beta, f, label=r'$f(\beta) = \cosh\beta \cos\beta - 1$')
plt.axhline(0, color='r', linestyle='--')
plt.scatter([4.730, 7.853, 10.996], [0, 0, 0], color='k')  # 标记前三个根
plt.xlabel(r'$\beta$')
plt.ylabel(r'$f(\beta)$')
plt.title('图形化求解频率方程: $\cosh\beta \cos\beta = 1$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

© 特征函数正交性证明

考虑特征值问题 $$X^{(4)}=\gamma X$$（$$\gamma =\lambda /K$$），边界条件：
$$X(0)=X^{\prime }(0)=0,X^{\prime \prime }(l)=X^{\prime \prime \prime }(l)=0$$
设 $${\gamma }_m\ne {\gamma }_n$$ 对应特征函数 $$X_m,X_n$$：
$${\int }_0^l{X}_m^{(4)}{X}_{n}dx={\gamma }_m{\int }_0^l{X}_m{X}_{n}dx$$
分部积分：
$${\int }_0^l{X}_m^{(4)}{X}_{n}dx={\left[X_m^{\prime \prime \prime }{X}_n-X_m^{\prime \prime }{X}_n^{\prime }+X_m^{\prime }{X}_n^{\prime \prime }-X_m{X}_n^{\prime \prime \prime }\right]}_0^l+{\int }_0^l{X}_m{X}_n^{(4)}dx$$
边界条件下端点项为零：
$${\gamma }_m{\int }_0^l{X}_m{X}_{n}dx={\gamma }_n{\int }_0^l{X}_m{X}_{n}dx$$
$$({\gamma }_m-{\gamma }_n){\int }_0^l{X}_m{X}_{n}dx=0$$
因 $${\gamma }_m\ne {\gamma }_n$$，有：
$${\int }_0^l{X}_m(x)X_n(x)dx=0$$

(d) 特征值简单性证明（奖励）

对特征值 $${\gamma }_n$$：

• 通解有四个参数，但四个边界条件：
  • $$X(0)=0$$ 和 $$X^{\prime }(0)=0$$ 减少两个自由度
  • $$X^{\prime \prime }(l)=0$$ 和 $$X^{\prime \prime \prime }(l)=0$$ 通过频率方程关联
• 解空间一维，故特征值简单（几何重数为1）

(e) 特征函数草图（奖励）

前几个特征函数（设 $$l=1,K=1$$）：

• $${\beta }_1\approx 4.730$$, $$b_1\approx -1.00078$$
• $${\beta }_2\approx 7.853$$, $$b_2\approx -1.00000$$
• $${\beta }_3\approx 10.996$$, $$b_3\approx -1.00000$$

特征函数：
$$X_n(x)=\cos ({\mu }_{n}x)-\cosh ({\mu }_{n}x)+b_n\left[\sin ({\mu }_{n}x)-\sinh ({\mu }_{n}x)\right]$$

Python 绘图代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltl = 1
beta_roots = [4.730, 7.853, 10.996]  # 前三个根
b_values = [-1.00078, -1.00000, -1.00000]  # 近似 b_nx = np.linspace(0, l, 100)
plt.figure(figsize=(10, 6))for i, (beta, b) in enumerate(zip(beta_roots, b_values)):mu = beta / lX = (np.cos(mu * x) - np.cosh(mu * x) + b * (np.sin(mu * x) - np.sinh(mu * x)))plt.plot(x, X, label=f'$n={i+1}$, $\\beta_{i+1} \\approx {beta}$')plt.title('左端固定、右端自由梁的特征函数')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$X_n(x)$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

特征函数行为：

• $$X_1(x)$$：无节点，左端固定，右端自由
• $$X_2(x)$$：一个节点（靠近左端）
• $$X_3(x)$$：两个节点
• 所有函数满足：
  • 左端：$$X(0)=0$$, $$X^{\prime }(0)=0$$
  • 右端：$$X^{\prime \prime }(l)=0$$, $$X^{\prime \prime \prime }(l)=0$$

问题8：左端简支、右端自由梁的振动分析

考虑梁的振动方程：
$$u_{tt}+K{u}_{xxxx}=0,0<x<l,K>0$$
边界条件：

• 左端简支（位移和弯矩为零）：$$u(0,t)=0$$, $$u_{xx}(0,t)=0$$
• 右端自由（无弯矩和剪力）：$$u_{xx}(l,t)=0$$, $$u_{xxx}(l,t)=0$$

(a) 频率方程和特征函数

分离变量：$$u(x,t)=X(x)T(t)$$。空间方程为：
$$X^{(4)}-{\mu }^{4}X=0,{\mu }^4=\frac{\lambda }{K}$$
通解：
$$X(x)=A\cos (\mu x)+B\sin (\mu x)+C\cosh (\mu x)+D\sinh (\mu x)$$

边界条件应用：

1. $$X(0)=0$$：
   $$A+C=0⟹C=-A$$
2. $$X^{\prime \prime }(0)=0$$：
   $$-{\mu }^{2}A+{\mu }^{2}C=0$$（自动满足，因 $$C=-A$$)
3. $$X^{\prime \prime }(l)=0$$：
   $$-A{\mu }^2\cos (\mu l)-B{\mu }^2\sin (\mu l)+A{\mu }^2\cosh (\mu l)+B{\mu }^2\sinh (\mu l)=0$$
4. $$X^{\prime \prime \prime }(l)=0$$：
   $$A{\mu }^3\sin (\mu l)-B{\mu }^3\cos (\mu l)+A{\mu }^3\sinh (\mu l)+B{\mu }^3\cosh (\mu l)=0$$

设 $$\beta =\mu l$$，得齐次系统：
$$\{\begin{array}{l}A(\cosh \beta -\cos \beta )+B(\sinh \beta -\sin \beta )=0\\ A(\sin \beta +\sinh \beta )+B(\cosh \beta -\cos \beta )=0\end{array}$$
非零解要求行列式为零：
$$(\cosh \beta -\cos \beta {)}^2-(\sinh \beta -\sin \beta )(\sin \beta +\sinh \beta )=0$$
化简得频率方程：
$$\cosh \beta \cos \beta =1,\beta =\mu l$$

特征值和特征函数：

• 零特征值（$$\lambda =0$$）：
  解 $$X^{(4)}=0$$ 得 $$X(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$$
  边界条件：

  • $$X(0)=0⟹d=0$$
  • $$X^{\prime \prime }(0)=0⟹2b=0⟹b=0$$
  • $$X^{\prime \prime }(l)=0⟹6al=0⟹a=0$$
  • $$X^{\prime \prime \prime }(l)=0$$（自动满足）
    唯一非零解：$$X(x)=x$$（线性函数）

• 正特征值：
  方程 $$\cosh \beta \cos \beta =1$$ 的正根 $${\beta }_n$$（$${\beta }_1\approx 4.730$$, $${\beta }_2\approx 7.853$$, $${\beta }_3\approx 10.996$$, …）
  特征值：$${\lambda }_n=K{\mu }_n^4=K({\beta }_n/l{)}^4$$
  角频率：$${\omega }_n=\sqrt{{\lambda }_n}=\sqrt{K}({\beta }_n/l{)}^2$$
  特征函数：
  $$X_n(x)=\sin ({\mu }_{n}x)+b_n\sinh ({\mu }_{n}x)$$
  其中 $${\mu }_n={\beta }_n/l$$，$$b_n=-\frac{\sin ({\beta }_n)}{\sinh ({\beta }_n)}$$

(b) 图形化求解频率方程

定义函数：
$$f(\beta )=\cosh \beta \cos \beta -1$$
绘制 $$f(\beta )$$ 的图像，其与 $$\beta$$ 轴的交点 $$({\beta }_n,0)$$ 给出频率 $${\omega }_n=\sqrt{K}({\beta }_n/l{)}^2$$。

• 根的位置：
  $${\beta }_1\approx 4.730$$（在 $$\pi \approx 3.14$$ 和 $$3\pi /2\approx 4.71$$ 之间），
  $${\beta }_2\approx 7.853$$（在 $$2\pi \approx 6.28$$ 和 $$5\pi /2\approx 7.85$$ 之间），
  $${\beta }_3\approx 10.996$$（在 $$3\pi \approx 9.42$$ 和 $$7\pi /2\approx 10.99$$ 之间）。

Python 绘图代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltbeta = np.linspace(0, 15, 1000)
f = np.cosh(beta) * np.cos(beta) - 1plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(beta, f, label=r'$f(\beta) = \cosh\beta \cos\beta - 1$')
plt.axhline(0, color='r', linestyle='--')
plt.scatter([4.730, 7.853, 10.996], [0, 0, 0], color='k')  # 标记前三个根
plt.xlabel(r'$\beta$')
plt.ylabel(r'$f(\beta)$')
plt.title('图形化求解频率方程: $\cosh\beta \cos\beta = 1$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

© 特征函数正交性证明

特征值问题：$$X^{(4)}=\gamma X$$（$$\gamma =\lambda /K$$），边界条件：
$$X(0)=X^{\prime \prime }(0)=0,X^{\prime \prime }(l)=X^{\prime \prime \prime }(l)=0$$
设 $${\gamma }_m\ne {\gamma }_n$$ 对应特征函数 $$X_m,X_n$$：
$${\int }_0^l{X}_m^{(4)}{X}_{n}dx={\gamma }_m{\int }_0^l{X}_m{X}_{n}dx$$
分部积分：
$${\int }_0^l{X}_m^{(4)}{X}_{n}dx={\left[X_m^{\prime \prime \prime }{X}_n-X_m^{\prime \prime }{X}_n^{\prime }+X_m^{\prime }{X}_n^{\prime \prime }-X_m{X}_n^{\prime \prime \prime }\right]}_0^l+{\int }_0^l{X}_m{X}_n^{(4)}dx$$
边界条件下端点项为零：
$${\gamma }_m{\int }_0^l{X}_m{X}_{n}dx={\gamma }_n{\int }_0^l{X}_m{X}_{n}dx$$
$$({\gamma }_m-{\gamma }_n){\int }_0^l{X}_m{X}_{n}dx=0$$
因 $${\gamma }_m\ne {\gamma }_n$$，有：
$${\int }_0^l{X}_m(x)X_n(x)dx=0$$
正交性成立（含零特征值模式）。

(d) 特征值简单性证明（奖励）

• 零特征值：一维特征空间（仅 $$X(x)=x$$）
• 正特征值：解空间由两个参数 $$(A,B)$$ 描述，但两个边界条件通过频率方程关联，解空间一维，故特征值简单。

(e) 特征函数草图（奖励）

前几个特征函数（设 $$l=1,K=1$$）：

1. 零特征值：$$X_0(x)=x$$
2. 非零特征值：
   $$X_n(x)=\sin ({\mu }_{n}x)+b_n\sinh ({\mu }_{n}x),b_n=-\frac{\sin {\beta }_n}{\sinh {\beta }_n}$$
   • $${\beta }_1\approx 4.730$$：$$b_1\approx -0.0276$$
   • $${\beta }_2\approx 7.853$$：$$b_2\approx -0.0004$$
   • $${\beta }_3\approx 10.996$$：$$b_3\approx -0.00001$$

Python 绘图代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltl = 1
beta_roots = [4.730, 7.853, 10.996]  # 前三个根
x = np.linspace(0, l, 100)plt.figure(figsize=(10, 6))# 零特征值
plt.plot(x, x, 'k-', label=r'$\lambda=0$: $X_0(x)=x$')# 非零特征值
for i, beta in enumerate(beta_roots):mu = beta / lb = -np.sin(beta) / np.sinh(beta)X = np.sin(mu * x) + b * np.sinh(mu * x)plt.plot(x, X, label=f'$n={i+1}$, $\\beta_{i+1} \\approx {beta}$')plt.title('左端简支、右端自由梁的特征函数')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$X_n(x)$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

特征函数行为：

• $$X_0(x)$$：线性函数（斜直线）
• $$X_1(x)$$：类似正弦波，但右端因双曲项轻微上翘
• $$X_2(x)$$：更接近标准正弦波（因 $$b_n$$ 极小）
• $$X_3(x)$$：几乎与 $$\sin (3\pi x/l)$$ 重合
• 所有函数满足：
  • 左端：$$X(0)=0$$, $$X^{\prime \prime }(0)=0$$
  • 右端：$$X^{\prime \prime }(l)=0$$, $$X^{\prime \prime \prime }(l)=0$$

问题9：左端诺伊曼、右端奇异边界条件的波动方程

考虑波动方程：
$$u_{tt}-c^2{u}_{xx}=0,0<x<l$$
边界条件：

• 左端（$$x=0$$）：诺伊曼条件 $$u_x(0,t)=0$$
• 右端（$$x=l$$）：奇异条件 $$(u_x+i\alpha u_t)(l,t)=0$$，其中 $$\alpha \in \mathbb{R}$$

(a) 分离变量

设解的形式为 $$u(x,t)=X(x)T(t)$$。代入波动方程：
$$X{T}^{\prime \prime }-c^2{X}^{\prime \prime }T=0$$
分离变量：
$$\frac{T^{\prime \prime }}{c^{2}T}=\frac{X^{\prime \prime }}{X}=-\lambda$$
其中 $$\lambda$$ 是分离常数（特征值）。得到两个常微分方程：

1. 空间方程：$$X^{\prime \prime }+\lambda X=0$$
2. 时间方程：$$T^{\prime \prime }+c^2\lambda T=0$$

边界条件分离：

• 左端：$$u_x(0,t)=X^{\prime }(0)T(t)=0$$，因 $$T(t)\not\equiv 0$$，故 $$X^{\prime }(0)=0$$。
• 右端：$$(u_x+i\alpha u_t)(l,t)=X^{\prime }(l)T(t)+i\alpha X(l)T^{\prime }(t)=0$$。
  利用时间方程 $$T^{\prime \prime }=-c^2\lambda T$$，并假设 $$\lambda >0$$（特征值实数且正），得 $$T^{\prime }(t)=i\sigma T(t)$$ 其中 $$\sigma =c\sqrt{\lambda }$$。代入右端条件：
  $$X^{\prime }(l)T(t)+i\alpha X(l)(i\sigma )T(t)=T(t)\left[X^{\prime }(l)-\alpha \sigma X(l)\right]=0$$
  因 $$T(t)\not\equiv 0$$，故：
  $$X^{\prime }(l)-\alpha c\sqrt{\lambda }X(l)=0$$
  其中 $$\sigma =c\sqrt{\lambda }$$。

综上，空间方程和边界条件为：
$$X^{\prime \prime }+\lambda X=0,X^{\prime }(0)=0,X^{\prime }(l)-\alpha c\sqrt{\lambda }X(l)=0$$

(b) 奇异特征值问题

空间方程的特征值问题为：
$$\{\begin{array}{ll}{X}^{\prime \prime }+\lambda X=0,& 0<x<l\\ X^{\prime }(0)=0& \\ X^{\prime }(l)-\alpha c\sqrt{\lambda }X(l)=0& \end{array}$$
此问题为“奇异”因边界条件依赖于 $$\sqrt{\lambda }$$（含参数 $$\lambda$$）。

© 求解特征值问题

空间方程的通解为：
$$X(x)=A\cos (\sqrt{\lambda }x)+B\sin (\sqrt{\lambda }x)$$
应用边界条件：

1. $$X^{\prime }(0)=0$$：
   $$X^{\prime }(x)=-A\sqrt{\lambda }\sin (\sqrt{\lambda }x)+B\sqrt{\lambda }\cos (\sqrt{\lambda }x)$$
   $$X^{\prime }(0)=B\sqrt{\lambda }=0⟹B=0(\text{因 }\lambda >0)$$
   故 $$X(x)=A\cos (\sqrt{\lambda }x)$$。
2. $$X^{\prime }(l)-\alpha c\sqrt{\lambda }X(l)=0$$：
   $$X^{\prime }(l)=-A\sqrt{\lambda }\sin (\sqrt{\lambda }l),X(l)=A\cos (\sqrt{\lambda }l)$$
   代入：
   $$-A\sqrt{\lambda }\sin (\sqrt{\lambda }l)-\alpha c\sqrt{\lambda }A\cos (\sqrt{\lambda }l)=0$$
   因 $$A\ne 0$$ 且 $$\sqrt{\lambda }\ne 0$$，得：
   $$\sin (\sqrt{\lambda }l)+\alpha c\cos (\sqrt{\lambda }l)=0$$
   即：
   $$\tan (\sqrt{\lambda }l)=-\alpha c$$
   令 $$\beta =\sqrt{\lambda }l$$，则：
   $$\tan \beta =-\gamma ,\gamma =\alpha c$$

考虑 $$\lambda =0$$：

• 空间方程 $$X^{\prime \prime }=0$$，通解 $$X(x)=a+bx$$。
• $$X^{\prime }(0)=b=0$$，故 $$X(x)=a$$。
• 右端条件：$$X^{\prime }(l)-\alpha c\cdot 0\cdot X(l)=0-0=0$$，恒成立。
  故 $${\lambda }_0=0$$ 是特征值，对应特征函数 $$X_0(x)=1$$（常数）。

对于 $$\lambda >0$$，方程 $$\tan \beta =-\gamma$$ 有可数个正实根 $${\beta }_n>0$$（$$n=1,2,3,\dots$$），满足：
$${\beta }_n=\arctan (-\gamma )+n\pi ,n=1,2,3,\dots$$
（取使 $${\beta }_n>0$$ 的根）。特征值为：
$${\lambda }_n={\left(\frac{{\beta }_n}{l}\right)}^2$$
对应特征函数：
$$X_n(x)=\cos \left(\frac{{\beta }_{n}x}{l}\right)$$

(d) 简单解 $$u(x,t)=X(x)T(t)$$

时间方程 $$T^{\prime \prime }+c^2\lambda T=0$$ 的解：

• 对 $${\lambda }_n>0$$（$$n\ge 1$$）：
  $$T_n(t)=A_n\cos \left(\frac{c{\beta }_{n}t}{l}\right)+B_n\sin \left(\frac{c{\beta }_{n}t}{l}\right)$$
  简单解：
  $$u_n(x,t)=\cos \left(\frac{{\beta }_{n}x}{l}\right)\left[A_n\cos \left(\frac{c{\beta }_{n}t}{l}\right)+B_n\sin \left(\frac{c{\beta }_{n}t}{l}\right)\right]$$
• 对 $${\lambda }_0=0$$：
  $$T_0^{\prime \prime }=0$$，解 $$T_0(t)=C_0+D_{0}t$$。
  右端边界条件：$$u_x+i\alpha u_t=0+i\alpha D_0$$。设为零：
  $$i\alpha D_0=0⟹D_0=0(\text{若 }\alpha \ne 0)$$
  故 $$T_0(t)=C_0$$（常数），简单解：
  $$u_0(x,t)=C_0$$
  （若 $$\alpha =0$$，则 $$T_0(t)=C_0+D_{0}t$$，解为 $$u_0(x,t)=C_0+D_{0}t$$，但假设 $$\alpha \ne 0$$）。

综上，简单解为：

• $$u_0(x,t)=C_0$$（常数模式）
• $$u_n(x,t)=\cos \left(\frac{{\beta }_{n}x}{l}\right)\left[A_n\cos \left(\frac{c{\beta }_{n}t}{l}\right)+B_n\sin \left(\frac{c{\beta }_{n}t}{l}\right)\right]$$（振动模式，$$n\ge 1$$）

其中 $${\beta }_n$$ 是 $$\tan \beta =-\alpha c$$ 的正实根。

\boxed{
\begin{aligned}
&\text{(a) 分离变量：} \
&u(x,t) = X(x)T(t) \implies \
&X’’ + \lambda X = 0, \quad T’’ + c^2 \lambda T = 0 \
&\text{边界条件：} X’(0) = 0, \quad X’(l) - \alpha c \sqrt{\lambda} X(l) = 0 \
\
&\text{(b) 奇异特征值问题：} \
&\begin{cases}
X’’ + \lambda X = 0, & 0 < x < l \
X’(0) = 0 \
X’(l) - \alpha c \sqrt{\lambda} X(l) = 0
\end{cases} \
\
&\text{© 求解：} \
&\lambda_0 = 0, \quad X_0(x) = 1 \
&\lambda_n = \left( \frac{\beta_n}{l} \right)^2, \quad X_n(x) = \cos\left( \frac{\beta_n x}{l} \right), \quad n=1,2,3,\ldots \
&\text{其中 } \beta_n > 0 \text{ 满足 } \tan \beta_n = -\alpha c \
\
&\text{(d) 简单解：} \
&u_0(x,t) = C_0 \quad (\text{常数解}) \
&u_n(x,t) = \cos\left( \frac{\beta_n x}{l} \right) \left[ A_n \cos\left( \frac{c \beta_n t}{l} \right) + B_n \sin\left( \frac{c \beta_n t}{l} \right) \right], \quad n=1,2,3,\ldots
\end{aligned}
}