奇异值分解是一种矩阵分解的方法，大学线性代数里面也讲过奇异值分解的方法，因此这是一个为大家所熟知的算法。

1 SVD 时间复杂度分析

给定一个 $m\times n$ 的矩阵 $\mathbf{a}$，按照下面公式做分解，其中 $\Sigma$
是一个 $m\times n$ 的矩阵，除对角线以为其他元素都是 0，对角线上的值就是所谓的奇异值。$\mathbf{U}$ 是 $m\times n$ 的酉矩阵，$\mathbf{V}$ 是 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \n at position 1: \̲n̲ ̲\times n 的酉矩阵，即满足 ${\mathbf{U}}^T\ast \mathbf{U}=\mathbf{I}$
$$\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^T$$

• 将 $\mathbf{A}$ 的转置和 $\mathbf{A}$ 做矩阵乘法，这样就会得到一个 $n\times n$ 的方阵 ${\mathbf{A}}^T\ast \mathbf{A}$，然后运用方阵特征分解，得到 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \fbf at position 64: …= \lambda _i ∗ \̲f̲b̲f̲{v} _i
• 得到矩阵 ${\mathbf{A}}^T\ast \mathbf{A}$ 的 n 个特征值和对应的 n 个特征向量 $\mathbf{v}$，将所有特征向量 $\mathbf{v}$ 张成一个 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \n at position 1: \̲n̲ ̲\times n 的矩阵 $\mathbf{V}$，就是前面公式里的 $\mathbf{V}$ 矩阵，一般叫其中 $\mathbf{V}$ 中的每个特征向量是 $\mathbf{A}$ 的右奇异向量。
• 同样的对 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{A}$ 的转置做乘法，就得到 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \m at position 1: \̲m̲ ̲\times m 的方阵$\mathbf{A}\ast {\mathbf{A}}^T$，运用方阵特征分解，得到 $\mathbf{A}\ast {\mathbf{A}}^T\ast {\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}={\lambda }_{\mathbf{i}}\ast {\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}$
• 得到矩阵 $\mathbf{A}\ast {\mathbf{A}}^T$ 的 m 个特征值和对应的 m 个特征向量 $\mathbf{u}$，将所有特征向量 $\mathbf{u}$ 张成一个 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \m at position 1: \̲m̲ ̲\times m 的矩阵 $\mathbf{U}$，就是前面公式里的 $\mathbf{U}$ 矩阵，一般叫 $\mathbf{U}$ 中的每个特征向量是 $\mathbf{A}$ 的左奇异向量。
• 计算奇异矩阵 $\Sigma$
  $$\mathbf{A}=\mathbf{U}\ast \mathbf{\Sigma }\ast {\mathbf{V}}^T\Rightarrow \mathbf{A}\ast \mathbf{U}=\mathbf{U}\ast \mathbf{\Sigma }\ast {\mathbf{V}}^T\ast \mathbf{V}\Rightarrow \mathbf{A}\ast \mathbf{V}=\mathbf{U}\ast \mathbf{\Sigma }\Rightarrow \mathbf{A}\ast {\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}={\sigma }_{\mathbf{i}}\ast {\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}\Rightarrow {\sigma }_{\mathbf{i}}=\mathbf{A}\ast {\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}/{\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}$$

这样得到奇异值 $\sigma$, 组成奇异值矩阵 $\Sigma$。

这是标准的按照线性代数理论进行分解的方法。由于矩阵乘法的实时间复杂度是 $O(n^3)$，那么不难得知，按照线性代数理论进行奇异值分解的时间复杂度是 $O(\max (m,n{)}^3)$。

SVD 在工业上通常用于推荐系统，物料数和用户数通常最少也是千万级别，三次方下来就10，0000亿，一个很恐怖的时间复杂度，接下来介绍一个 SVD 的性质，然后继续分析怎么优化这个算法。

2 SVD 分解算法优化

2.1 奇异值分解性质

对于奇异值分解结果的中间矩阵，它对角线上的值称为奇异值，按照从大到小排序，并且奇异值下降特别快，正常情况下前10%的奇异值占有了全部奇异值的99%，那么可以用前 k 个奇异值近似表示原始矩阵。
$${\mathbf{A}}_{m\times N}={\mathbf{U}}_{m\times m}\ast {\Sigma }_{m\times n}\ast {\mathbf{V}}_{n\times n}^T\approx {\mathbf{U}}_{m\times k}\ast {\Sigma }_{k\times k}\ast {\mathbf{V}}_{k\times n}^T$$
一般来说，这里 $k<<\min (m,n)$，可以达到数据压缩或者降维的作用。

2.2 截断奇异值分解

利用上面提到的奇异值分解的性质，可以借助截断奇异值分解来优化奇异值分解。

首先不直接分解矩阵，而是用机器学习的方法，直接去求第二个矩阵。定义损失函数
$$\mathbf{C}=\sum _{(i,j)\in \mathbf{R}}[({\mathbf{a}}_{(}\mathbf{ij})-{\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}\ast {\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}^{\mathbf{T}}{)}^2+\lambda ({\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}^2+{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}^2)]$$

第一项使用平方差定义分解后和原始矩阵的 RMSE，其中 $bf{a}_{ij}$ 是原始矩阵的第 i 行第 j 列，${\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}$ 是推荐系统场景中的用户特征向量，${\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}$ 是物品特征向量，后面一项是正则化项。

有了损失函数就可以用 ALS 或者梯度下降法求解了。这里的时间复杂度是 $O(mnk)$，而 k 是个很小的数，那么复杂度就是相当于是 $O(m\ast n)$，这样在千万的数据上计算复杂度瞬间变成100亿了。

另外，在算法实现上，还可以使用并行计算的方式来进行 SVD 分解计算，限于篇幅这里暂时不做展开，Mars算法实践

3 变种 SVD 算法

3.1 改进的 SVD 算法

前面说到，奇异值分解常用在推荐系统中，最简单的方法就是直接把评分矩阵分解去做推荐，但是实际中发现不管是用户还是物品都存在一定偏差，比如有些用户给的评分就是比其他人高0.5，或者有些电影用户倾向于给高分，但是建模的时候没有考虑进去这种情况。那么把用户和物品的偏差考虑进来，那么就可以对 SVD 算法进行改进，评分 = 兴趣 + 偏见。

$${\mathbf{a}}_{\mathbf{u},\mathbf{i}}=\mathbf{u}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}+{\mathbf{U}}_{\mathbf{u}}\ast {\mathbf{V}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{T}}$$

其中 ${\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}$ 表示用户偏见，${\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}$ 表示物品偏见，$\mathbf{u}$ 表示全局均值，损失函数为：

$$\mathbf{C}=\sum _{(u,i)\in \mathbf{R}}{\left({\mathbf{a}}_{\mathbf{u},\mathbf{i}}-{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}-{\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}-{\mathbf{U}}_{\mathbf{u}}\ast {\mathbf{V}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{T}}\right)}^2+\lambda \left(||{\mathbf{U}}_u|{|}^2+||{\mathbf{V}}_i|{|}^2+{\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}^2{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}^2\right)$$

3.2 SVD++ 算法

实际使用中，除了用户或者物品偏见，还有一个问题就是行为数据中的评分数据很少，但是隐式行为数据有很多，把隐式行为数据建模进去从而缓解评分稀疏提高推荐效果，这就是 SVD++ 算法。SVD++ 在 SVD 中加入了用户对物品的隐式行为，SVD++ 的假设条件是评分 = 显式兴趣 + 隐式兴趣 + 偏见

$${\mathbf{a}}_{\mathbf{u},\mathbf{i}}=\mathbf{u}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}+{\mathbf{V}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{T}}\ast \left({\mathbf{U}}_{\mathbf{u}}+|{\mathbf{I}}_{\mathbf{u}}{|}^{-\frac{1}{2}}\ast \sum _{\mathbf{j}\in {\mathbf{I}}_{\mathbf{u}}}{\mathbf{y}}_{\mathbf{j}}\right)$$

其中 ${\mathbf{I}}_u$ 是该用户有隐式行为的所有物品集合，而 $y_j$ 是隐式评分电影 j 反应出的喜好值，其中对 ${\mathbf{I}}_u$ 取根号是一个经验值，这样就把系统中大量的隐式行为也建模到 SVD 算法中，虽然这么做对计算复杂度提高了不少，但是能够缓解评分稀疏提高推荐效果。同样的，损失函数为：

$$\mathbf{C}=\sum _{(u,i)\in \mathbf{R}}{\left({\mathbf{a}}_{\mathbf{u},\mathbf{i}}-{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}-{\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}-{\mathbf{V}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{T}}\ast （{\mathbf{U}}_{\mathbf{u}}+\min (|{\mathbf{I}}_{\mathbf{u}}{|}^{-\frac{1}{2}}\ast \sum _{\mathbf{j}\in {\mathbf{I}}_{\mathbf{u}}}{\mathbf{y}}_{\mathbf{j}})）\right)}^2+\lambda \left(\sum _u({\mathbf{b}}_{\mathbf{i},\mathbf{u}}^2+||{\mathbf{U}}_{\mathbf{u}}|{|}^2)+\sum _{\mathbf{i}}({\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}^2+||{\mathbf{V}}_{\mathbf{i}}|{|}^2+||{\mathbf{y}}_{\mathbf{i}}|{|}^2)\right)$$

3.3 timeSVD 算法

2010 年，Koren 发现在 Netflix 的数据中，个体用户的兴趣会随着时间转移，论文中称作 concepte drift (观念转移)。比如大家都知道的《大话西游》，刚上映票房很低，大家都给出的评分也不高，但是随着时间流逝，大家给出的评分越来越高。另外可能有些电影在某些特定的节日或者某天会获得高分，作者希望建立模型能捕捉到这些。

timeSVD 在 SVD 中加入了时间因素，也可以叫做有时序的SVD。timeSVD 的假设条件是评分 = 显式兴趣 + 时序兴趣 + 热点 + 偏见

按照原始论文的介绍来说，这个模型是为了对观念转移建模。从三个角度出发，首先是时间窗口概念，另外是实例权重，采用时间衰减，最后是集成学习的概念，引入多个基础预估方法。

static predictor 是最基础的预估方法:
$${\mathbf{b}}_{\mathbf{u},\mathbf{i}}(\mathbf{t})=\mathbf{u}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}$$
mov方案 mov predictor:
$${\mathbf{b}}_{\mathbf{u},\mathbf{i}}(\mathbf{t})=\mathbf{u}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i},\mathbf{Bin}(\mathbf{t})}$$

这里对 ${\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}$ 是 ${\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}(\mathbf{t})=\mathbf{bf}{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i},\mathbf{Bin}(\mathbf{t})}$，分为Static和time changing两部分，引入物品的时间变化因素，对时间片进行划分。论文中是以10周为一片，共划分了30片，赋予一个 $Bin(t)$，即1-30之间。时间片划分也可以是其他的，小的时间片可以有更好的性能，大的时间片能够让每片有更多的数据。

linear predictor，引入用户兴趣的变化，首先定义
$$de{v}_u(t)=sign(t-t_u)\ast |t-t_u{|}^{\beta }$$
表示当前用户当前评分时间和平均评分时间的距离，论文中 $\beta =0.4$

然后对 ${\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}$ 引入时间变化到线性模型，多了一个需要训练的参数 $\alpha$
$${\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}^{(1)}=\mathbf{bf}{\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}+{\alpha }_{\mathbf{u}}\ast \mathbf{de}{\mathbf{v}}_{\mathbf{u}}(\mathbf{t})$$
引入到公式中得到
$${\mathbf{b}}_{\mathbf{u},\mathbf{i}}(\mathbf{t})=\mathbf{u}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}+{\alpha }_{\mathbf{u}}\ast \mathbf{de}{\mathbf{v}}_{\mathbf{u}}(\mathbf{t})+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i},\mathbf{Bin}(\mathbf{t})}$$

spline predictor 通过另一种方法引入用户兴趣变化的模型，区别于前面的线性模型，这是一个曲线式模型
$${\mathbf{b}}_{\mathbf{u},\mathbf{i}}(\mathbf{t})=\mathbf{u}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}+\frac{{\sum }_{\mathbf{l}=1}^{{\mathbf{k}}_{\mathbf{u}}}{\mathbf{e}}^{-r|t-{\mathbf{t}}^{\mathbf{u}}|}\ast {\mathbf{b}}_{\mathbf{t},\mathbf{l}}^{\mathbf{u}}}{{\sum }_{\mathbf{l}=1}^{{\mathbf{k}}_{\mathbf{u}}}{\mathbf{e}}^{-r|t-{\mathbf{t}}^{\mathbf{u}}|}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i},\mathbf{Bin}(\mathbf{t})}$$

linear+ predictor 引入实时特定，比如用户某天心情，或者生日等，引入一个参数 ${\mathbf{b}}_{\mathbf{u},\mathbf{t}}$，表示每日的特定偏差
$${\mathbf{b}}_{\mathbf{u},\mathbf{i}}(\mathbf{t})=\mathbf{u}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}+{\alpha }_{\mathbf{u}}\ast \mathbf{de}{\mathbf{v}}_{\mathbf{u}}(\mathbf{t})+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{u},\mathbf{t}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i},\mathbf{Bin}(\mathbf{t})}$$

spline+ predictor 曲线模型也引入,
$${\mathbf{b}}_{\mathbf{u},\mathbf{i}}(\mathbf{t})=\mathbf{u}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}+\frac{{\sum }_{\mathbf{l}=1}^{{\mathbf{k}}_{\mathbf{u}}}{\mathbf{e}}^{-r|t-{\mathbf{t}}^{\mathbf{u}}|}\ast {\mathbf{b}}_{\mathbf{t},\mathbf{l}}^{\mathbf{u}}}{{\sum }_{\mathbf{l}=1}^{{\mathbf{k}}_{\mathbf{u}}}{\mathbf{e}}^{-r|t-{\mathbf{t}}^{\mathbf{u}}|}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{u},\mathbf{t}}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i},\mathbf{Bin}(\mathbf{t})}$$

通过梯度下降法进行训练，损失函数为
$$\mathbf{C}=\sum _{u,i,t\in \mathbf{K}}{\left({\mathbf{r}}_{\mathbf{u},\mathbf{i}}(\mathbf{t})-\mathbf{u}-{\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}-{\alpha }_{\mathbf{u}}\ast \mathbf{de}{\mathbf{v}}_{\mathbf{u}}(\mathbf{t})-{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}-{\mathbf{b}}_{\mathbf{u},\mathbf{t}}-{\mathbf{b}}_{\mathbf{i},\mathbf{Bin}(\mathbf{t})}\right)}^2+\lambda \ast \left({\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}^2+{\alpha }_{\mathbf{u}}^2+{\mathbf{b}}_{\mathbf{u},\mathbf{t}}^2+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}^2+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i},\mathbf{Bin}\mathbf{t}}^2\right)$$
原论文中对各个 predictor 用 RMSE 作为指标的结果

这里通过时序建模，用户矩阵的参数表示为:
$${\mathbf{u}}_{\mathbf{u}}(\mathbf{t})[\mathbf{k}]={\mathbf{p}}_{\mathbf{u},\mathbf{k}}+{\alpha }_{\mathbf{u},\mathbf{k}}\ast \mathbf{de}{\mathbf{v}}_{\mathbf{u}}(\mathbf{t})+{\mathbf{p}}_{\mathbf{u},\mathbf{k}}\ast \mathbf{k}=1,\cdots ,\mathbf{f}$$
这里 k 代表第 k 个 predictor，每一个 predictor 单独训练，最终得到如下公式，
$${\mathbf{a}}_{\mathbf{u},\mathbf{i}}=\mathbf{u}+{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}(\mathbf{t})+{\mathbf{b}}_{\mathbf{u}}(\mathbf{t})+{\mathbf{V}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{T}}\ast ({\mathbf{u}}_{\mathbf{u}}(\mathbf{t})+|{\mathbf{I}}_{\mathbf{u}}{|}^{-\frac{1}{2}}\ast \sum _{\mathbf{j}\in {\mathbf{I}}_{\mathbf{u}}}{\mathbf{y}}_{\mathbf{j}})$$
通过在 Netflix 数据集测试，对比三种算法，可以得到