(离散型与连续型)

数学

概率论与数理统计

离散型随机变量及其概率分布

如果随机变量 $X$ 只可能取有限个或可列无限个值 $x_1, x_2, \cdots$ ，则称 $X$ 为离散型随机变量，称为 $X$ 的分布列、分布律或概率分布，记为 $X \sim p_i$ ，概率分布通常用表格形式或矩阵形式表示，即：

数列 ${p_i }(i = 1, 2, \cdots)$ 是离散型随机变量的概率分布的充要条件：$p_i \geq 0(i = 1, 2, \cdots)$ ，且 $\sum\limits_ip_i = 1$ .

设离散型随机变量 $X$ 的概率分布为 $P{X = x_i} = p_i, i = 1, 2, \cdots$ ，则 $X$ 的分布函数：

$$ F(x) = P{X \leq x} = \sum\limits_{x_i \leq x}P{X = x_i}, \ P{X = x_i} = P{X \leq x_i} - P{X < x_i} = F(x_i) - F(x_i - 0) $$

并且对实数轴上的任一集合 $B$ ，有：

$$ P{X \in B} = \sum\limits_{x_i \leq x}P{X = x_i}, $$

特别地，$P{a < X \leq b} = P{x \leq b} - P{X \leq a} = F(b) - F(a).$

连续型随机变量及其概率密度

如果随机变量 $X$ 的分布函数可以表示为：$F(x) = \int^x_{-\infty}f(t)dt(x \in R),$

其中 $f(x)$ 是非负可积函数，则称 $X$ 为连续型随机变量，称 $f(x)$ 为 $X$ 为连续型随机变量，称 $f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数，简称概率密度，记为 $X \sim f(x)$.

$f(x)$ 为某一随机变量 $X$ 的概率密度的充分必要条件：$f(x) \geq 0$ ，且 $\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx = 1$ （由此可知，在保证非负的条件下，改变 $f(x)$ 有限个点的值，$f(x)$ 仍然是概率密度）.

设 $X$ 为连续型随机变量，$X \sim f(x)$ ，则对任意实数 $c$ ，有 $P{X = c} = 0$ ；对实数轴上任一集合 $B$ ，有 $P{X \in B} = \int_Bf(x)dx.$

特别地，$P{a < X < b} = P{a \leq X < b} = P{a < X \leq b} = P{a \leq X \leq b} = \int^b_af(x)dx = F(b) - F(a)$

常见的随机变量分布类型

离散型

1. 0-1 分布 $B(1, p)(Ber - E_1)$

如果 $X$ 的概率分布为 $X \sim \begin{pmatrix}1 & 0 \ p & 1-p\end{pmatrix},$ 即 $P{X = 1} = p, P{X = 0} = 1 - p$ ，则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的 0-1分布，记为 $X \sim B(1, p)(0 < p < 1)$

2. 二项分布 $B(n, p)(Ber - E_n)$

如果 $X$ 的概率分布为 $P{X = k} = C^k_np^k(1 - p)^{n - k}(k = 0, 1, \cdots, n; 0 < p < 1)$ ，则称 $X$ 服从参数为 $(n, p)$ 的二项分布，记为 $X \sim B(n, p)$

3. 泊松分布 $P(\lambda)$

如果 $X$ 的概率分布为：$P{X = k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}(k = 0, 1, \cdots; \lambda > 0)$ ，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X \sim P(\lambda)$.

4. 几何分布 $G(p)(Ber - E_{\infty})$

如果 $X$ 的概率分布为 $P{X = k} = (1 - p)^{k - 1}p(k = 1, 2, \cdots; 0 < p < 1)$ ，则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布，记为 $X \sim G(p)$.

5. 超几何分布 $H(n, N, M)$

如果 $X$ 的概率分布为 $P{X = k} = \frac{C^k_MC^{n-k}_{N - M}}{C^n_N}(max{0, n - N + M} \leq k \leq min{M, n}; M, N, n$ 为正整数且 $M \leq N, n \leq N, k$ 为整数），则称 $X$ 服从参数为 $(n, N, M)$ 的超几何分布，记为 $X \sim H(n, N, M)$

连续型

1. 均匀分布 $U(a, b)$

如果随机变量 $X$ 的概率密度和分布函数分别为：

$$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a}, a < x < b, \
0, 其他， \end{cases} F(x) = \begin{cases} 0, x < a, \
\frac{x - a}{b - a}, a \leq x < b, \
1, x \geq b, \end{cases} $$

则称 $X$ 在区间 $(a, b)$ 上服从均匀分布，记为 $X \sim U(a, b)$.

2. 指数分布 $E(\lambda)$

如果 $X$ 的概率密度和分布函数分别为：

$$ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, x > 0,\ 0, 其他 \end{cases} F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, x \geq 0, \ 0, x < 0 \end{cases}(\lambda > 0) $$

3. 正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$

如果 $X$ 的概率密度为：$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x - \mu}{\sigma})^2}(-\infty < x < +\infty)$ ，其中 $-\infty < \mu < +\infty, \sigma > 0$ ，则称 $X$ 服从参数为 $(\mu, \sigma^2)$ 的正态分布或称 $X$ 为正态变量，记为 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ，此时 $f(x)$ 的图形关于直线 $x = \mu$ 对称，即 $f(\mu - x) = f(\mu + x)$ ，并在 $x = \mu$ 处有唯一最大值 $f(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$.

称 $\mu = 0, \sigma = 1$ 时的正态分布 $N(0, 1)$ 为标准正态分布，通常记标准正态分布的概率密度为 $\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^x_{-\infty}e^{\frac{t^2}{2}}dt.$

显然 $\varphi(x)$ 为偶函数，则：$\Phi(0) = \frac{1}{2}, \Phi(-x) = 1- \Phi(x).$

若 $X \sim N(0, 1), P{X > \mu_a} = \alpha$ ，则称 $\mu_a$ 为标准正态分布的上侧 $\alpha$ 分位数（上 $\alpha$ 分位点）.

如果 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ，则：

$$ F(x) = P{X \leq x} = \Phi(\frac{x - \mu}{\sigma}), \ F(\mu - x) + F(\mu + x) = 1, \ P{a < X < b} = \Phi(\frac{b - \mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{a - \mu}{\sigma}), \ aX + b \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)(a \neq 0). $$