一、杨辉三角的概念与意义

1. 什么是杨辉三角？

杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数阵，其特点是：

• 每行的第一个数和最后一个数都是 1。
• 从第3行开始，中间的每个数等于它上方两数之和（即第 i 行第 j 列的数 = 第 i-1 行第 j-1 列的数 + 第 i-1 行第 j 列的数）。

2. 杨辉三角的意义

• 数学上：揭示了二项式系数的规律（第 n 行对应 (a+b)^(n-1) 的展开式系数）。
• 编程上：是理解二维数组和动态规划基础思想的经典案例，适合练习嵌套循环和数组元素的关联计算。

二、杨辉三角的结构分析（以5行为例）

第1行：          1
第2行：        1   1
第3行：      1   2   1
第4行：    1   3   3   1
第5行：  1   4   6   4   1

• 行数与列数：第 i 行有 i 个元素（行索引从1开始）。
• 元素关系：以第4行为例，中间的 3 由第3行的 1+2 得到，另一个 3 由第3行的 2+1 得到。

三、解题思路（打印n行杨辉三角）

以打印 n=5 行杨辉三角为例，步骤如下：

1. 创建二维数组：
   定义 int[][] triangle，其中 triangle[i] 表示第 i+1 行（数组索引从0开始），第 i 行的长度为 i+1（如第0行长度1，第1行长度2）。

2. 初始化边界值：
   每行的第一个元素（j=0）和最后一个元素（j=i）都设为 1。

3. 填充中间元素：
   对于第 i 行（i >= 2，即从第3行开始），中间元素 triangle[i][j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j]。

4. 打印杨辉三角：
   为美观，每行打印前先输出空格（行数越多，前面空格越少），再打印元素，元素间用空格分隔。

四、完整代码实现（打印n行杨辉三角）

import java.util.Scanner;public class YangHuiTriangle {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);System.out.print("请输入杨辉三角的行数：");int n = scanner.nextInt();  // 输入行数，如5// 1. 创建二维数组，第i行有i+1个元素（i从0开始）int[][] triangle = new int[n][];for (int i = 0; i < n; i++) {triangle[i] = new int[i + 1];  // 第0行长度1，第1行长度2，...，第n-1行长度n}// 2. 填充杨辉三角for (int i = 0; i < n; i++) {// 2.1 每行首尾元素设为1triangle[i][0] = 1;          // 第一个元素triangle[i][i] = 1;          // 最后一个元素（索引=i）// 2.2 填充中间元素（从第2行开始，i >= 1时中间才有元素）for (int j = 1; j < i; j++) {  // j从1到i-1（避开首尾）triangle[i][j] = triangle[i - 1][j - 1] + triangle[i - 1][j];}}// 3. 打印杨辉三角（带格式化空格，居中显示）System.out.println("杨辉三角（" + n + "行）：");for (int i = 0; i < n; i++) {// todo 如果等腰三角形不方便查看，可以将 打印空格的for循环注释掉// 3.1 打印每行前面的空格（总行数-n，每行递减）for (int k = 0; k < n - i - 1; k++) {System.out.print("  ");  // 两个空格，使三角形居中}// 3.2 打印当前行的元素for (int j = 0; j <= i; j++) {System.out.print(triangle[i][j] + "   ");  // 元素间用3个空格分隔}// 3.3 换行System.out.println();}}
}

五、代码执行流程与输出结果

输入行数 n=5 时：

1. 数组初始化：
   创建 5 行的二维数组，每行长度分别为 1,2,3,4,5。

2. 填充元素：

   • 第0行（i=0）：[1]（首尾都是1，无中间元素）。
   • 第1行（i=1）：[1, 1]（首尾都是1，无中间元素）。
   • 第2行（i=2）：[1, 1+1=2, 1] → [1,2,1]。
   • 第3行（i=3）：[1, 1+2=3, 2+1=3, 1] → [1,3,3,1]。
   • 第4行（i=4）：[1, 1+3=4, 3+3=6, 3+1=4, 1] → [1,4,6,4,1]。

3. 打印结果：
   每行前的空格随行数增加而减少，元素间用空格分隔，形成等腰三角形。

输出结果：

请输入杨辉三角的行数：5
杨辉三角（5行）：1   1   1   1   2   1   1   3   3   1   
1   4   6   4   1   

六、拓展：获取杨辉三角的指定行

若只需获取第 rowIndex 行（从0开始），可优化空间复杂度（无需存储整个三角）：

public static int[] getRow(int rowIndex) {int[] row = new int[rowIndex + 1];row[0] = 1;  // 第一个元素为1for (int i = 1; i <= rowIndex; i++) {// 从后往前计算，避免覆盖上一行的值for (int j = i; j > 0; j--) {row[j] = row[j] + row[j - 1];}}return row;
}

• 例如 rowIndex=3 时，返回 [1,3,3,1]。

总结

杨辉三角的核心是利用上一行元素计算当前行元素，通过二维数组存储整个三角，或通过滚动数组优化空间。掌握其逻辑有助于理解：

1. 二维数组的动态初始化（每行长度不同）。
2. 元素间的依赖关系（中间元素 = 上方两元素之和）。
3. 格式化输出的技巧（通过空格控制对齐）。

通过手动模拟前5行的计算过程，可直观理解每行元素的生成逻辑，加深对数组操作的掌握。