【数学】三角函数相关

一、三角函数

二、诱导公式

1.介绍

2.示例

三、其它重要公式

ID：HL_5461

一、三角函数

对于如图所示三角形：

三角函数	公式表达	其它关系
正弦函数	$sin\theta =\frac{A}{C}$	/
余弦函数	$cos\theta =\frac{B}{C}$	/
正切函数	$tan\theta =\frac{A}{B}$	$=\frac{sin\theta }{cos\theta }$
余切函数	$cot\theta = \frac{B}{A}$	$=\frac{1}{tan\theta }$
正割函数	$sec\theta =\frac{C}{B}$	$=\frac{1}{cos\theta }$
余割函数	$csc\theta = \frac{C}{A}$	$=\frac{1}{sin\theta }$

二、诱导公式

1.介绍

奇变偶不变，符号看象限

对于一个角度 $\theta =\frac{k\pi }{2}\pm \alpha$ 的三角函数：

k为奇数，正变余，余变正；k为偶数，则不变。

添上将 $\alpha$ 看做锐角时原三角函数值的正负号（如下图按三角函数公式看正负）

2.示例

例1：对于 $cos(\frac{3\pi }{2}-\alpha )$

$k=3$ 为奇数，变为sin。

将 $\alpha$ 看做锐角， $\theta =\frac{3\pi }{2}-\alpha$ 落在第三象限，

此时 $A<0,B<0,C>0\Rightarrow cos\theta =\frac{B}{C}<0$ ，所以变换后前面添负号

$\therefore cos(\frac{3\pi }{2}-\alpha )=-sin\alpha$

例2：对于 $tan(\frac{2\pi }{2}+\alpha )$

$k=2$ 为偶数，不变，还是tan。

将 $\alpha$ 看做锐角， $\theta =\frac{2\pi }{2}+\alpha$ 落在第三象限，

此时 $A<0,B<0,C>0\Rightarrow tan\theta =\frac{A}{B}>0$ ，所以变换后仍然为正

$\therefore tan(\frac{2\pi }{2}+\alpha )=tan\alpha$

例3：对于 $sin(\frac{\pi }{2}+\alpha )$

$k=1$ 为奇数，变为cos。

将 $\alpha$ 看做锐角， $\theta =\frac{\pi }{2}+\alpha$ 落在第二象限，

此时 $A>0,B<0,C>0\Rightarrow sin\theta =\frac{A}{C}>0$ ，所以变换后仍然为正

$\therefore sin(\frac{\pi }{2}+\alpha )=cos\alpha$

三、其它重要公式

两角和差	$sin(\alpha \pm \beta ) =sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta$
	$cos(\alpha \pm \beta ) =cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta$
	$tan(\alpha \pm\beta ) = \frac{tan\alpha \pm tan\beta }{1\mp tan\alpha \cdot tan\beta }$
二倍角	$sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha$
	$cos2\alpha =$	$cos^2\alpha -sin^2\alpha$
		$2cos^2\alpha -1$
		$1-2sin^2\alpha$
	$tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-tan^2\alpha }$
万能公式	$sin2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1+tan^2\alpha }$
	$cos2\alpha =\frac{1-tan^2\alpha }{1+tan^2\alpha }$
	$tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-tan^2\alpha }$
其它	$sin^{2}\theta +cos^2\theta =1$
	$sin\alpha sin\beta = -\frac{1}{2}[cos(\alpha+ \beta )-cos(\alpha -\beta )]$
	$cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha+ \beta )+cos(\alpha -\beta )]$
	$sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}[sin(\alpha+ \beta )+sin(\alpha -\beta )]$
	$sin\alpha +sin\beta = 2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}$
	$cos\alpha +cos\beta = 2cos\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}$
	$cos\alpha -cos\beta =- 2sin\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2}$