考试要求

1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
2、掌握变量可分离的微分方程及一-阶线性微分方程的解法,会解齐次微分方程.
3、会用降阶法解下列形式的微分方程:$y^{(n)}=f(x),y^{{}^{\prime \prime }}=f(x,y^{{}^{\prime }})$和$y^{{}^{\prime \prime }}=f(y,y^{{}^{\prime }})$
4、理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理.
5、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.
6、会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.
7、会用微分方程解决一些简单的应用问题

一阶微分方程

概念

含有未知函数、未知函数的导函数与自变量之间关系的方程，叫做微分方程；


未知函数导函数的最高阶数称为该微分方程的阶；


未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。


方程$y^{(n)}=f(x,y,y^{{}^{\prime }},\cdots ,y^{n-1})$或$F(x,y,,y^{{}^{\prime }},\cdots ,y^n)=0$称为$n$阶微分方程，其中$x,y,y^{{}^{\prime }},\cdots ,y^{n-1}$可以没有，但必须含有$y^{(n)},n=1$时称一阶微分方程


设$y=\phi (x)$在区间$(a,b)$上连续且有直到$n$ 阶的导数，使${\phi }^{(n)(x)}\equiv f[x,\phi (x),{\phi }^{{}^{\prime }}(x),\cdots ,{\phi }^{(n-1)}(x)]$或$F[x,\phi (x),{\phi }^{{}^{\prime }}(x),\cdots ,{\phi }^n(x)]\equiv 0$，则称$y=\phi (x)$为该微分方程在区间$(a,b)$上的一个解。


如果含有$n$个独立的任意常数的函数$y=\phi (x,C_1,\cdots ,C_n),a<x<b$是$n$阶微分方程的解，则称它为该微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。条件$y(x_0)=y_0,y^{{}^{\prime }}(x_0)=y_0^{{}^{\prime }},\cdots ,y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$称为$n$阶微分方程的初始条件（也称初值条件），其中$y_0,y_0^{{}^{\prime }},\cdots ,y_0^{(n-1)}$为$n$个给定的数。
一般，由初始条件确定通解中的任意常数就得到相应的一个特解。


练习1：判断$y=\frac{C-x^2}{2x}$是否是常微分方程$y^{{}^{\prime }}=-\frac{x+y}{x}$的解，若是解，是通解还是特解？

解：$$\begin{gathered} y=\frac{C-x^2}{2x}\Rightarrow y^{{}^{\prime }}=\frac{-2x.2x-(C-x^2)2}{4x^2}=-\frac{x^2+C}{2x^2} \\ {y}^{{}^{\prime }}=-\frac{x+y}{x}带入y=\frac{C-x^2}{2x}\Rightarrow y^{{}^{\prime }}=-\frac{x^2+C}{2x^2} \\ 故：y=\frac{C-x^2}{2x}是常微分方程y^{{}^{\prime }}=-\frac{x+y}{x}的解 \\ 由含有任意常数C，是通解 \end{gathered}$$

几种特殊类型的一阶微分方程及其解法

1、变量可分离的微分方程


微分方程$\frac{dy}{dx}=h(x)g(y)$称变量可分离的方程，分离变量$$\frac{dy}{g(y)}=h(x)dx$$两边积分便得通解$$\int \frac{dy}{g(y)}=\int h(x)dx+C$$


练习1：求初值问题的解$\{\begin{array}{l}{y}^{{}^{\prime }}=-\frac{xy}{x+1}\\ \\ y(0)=1\end{array}$

解：$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{x+1}y\Rightarrow \frac{dy}{y}=-\frac{x}{x+1}dx \\ \int \frac{dy}{y}=\int -\frac{x}{x+1}dx+C=\int -1+\frac{1}{x+1}dx+C \\ \ln |y|=\ln |x+1|-x+C_1 \\ y=e^{\ln |x+1|-x+1}=e^{\ln |x+1|}.e^{-x}.e^{C_1} \\ 令e^{C_1}=C，故原方程通解：y=C(x+1)e^{-x} \\ 由y(0)=1解得C=1,故原方程特解：y=(x+1)e^{-x} \end{gathered}$$

2、齐次微分方程


微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(x,y),\text{\hspace{1em}(1)}$$中的$f(x,y)$，若命$y=ux$，当$x\ne 0$时，可将它化为$$f(x,y)=f(x,ux)=\phi (u)(与x无关)$$
则称(1)为齐次微分方程。其解法时，命$y=ux$以心的未知函数$u$代替未知函数$y$，得$$\begin{gathered} u+x\frac{du}{dx}=\phi (u) \\ x\frac{du}{dx}=\phi (u)-u \end{gathered}$$分离变量，积分得$$\int \frac{du}{\phi (u)-u}=\int \frac{dx}{x}+C=\ln |x|+C$$
设$\psi (u)=\int \frac{du}{\phi (u)-u}$，再命$u=\frac{y}{x}$ 代回，得通解$$\psi (\frac{y}{x})=\ln |x|+C$$

练习1：求解初值问题$\{\begin{array}{l}{y}^{{}^{\prime }}=\frac{y}{x}+\tan \frac{y}{x}\\ \\ y(1)=\frac{\pi }{2}\end{array}$

解：$$\begin{gathered} 令u=\frac{y}{x}，则y=ux，y^{{}^{\prime }}=u+u^{{}^{\prime }}x \\ u+\tan u=u+u^{{}^{\prime }}x\Rightarrow \frac{du}{\tan u}=\frac{1}{x}dx \\ 两边取积分得：\int \frac{du}{\tan u}du=\ln |x|+C_1 \\ \ln |\sin u|=\ln |x|+C_1\Rightarrow \sin u=\pm e^{C_1}|x| \\ 令C=e^{C_1}，则\sin u=Cx,C\in R \\ 原方程得通解：y=x\arcsin (Cx) \\ 由y(1)=\frac{\pi }{2}，解得C=1，即原方程特解为：y=x\arcsin (x) \end{gathered}$$

3、一阶线性微分方程


微分方程$y^{{}^{\prime }}+p(x)y=q(x)$ 称为一阶线性微分方程，它的通解是$$y=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}+C]$$
上式中得两个$\int p(x)dx$表示同一个原函数，其中不必添加任意常数

练习1：求一阶常微分方程$y^{{}^{\prime }}=2xy+2x{e}^{x^2}$的通解

解：$$\begin{gathered} y^{{}^{\prime }}=2xy+2x{e}^{x^2}\Rightarrow y^{{}^{\prime }}-2xy=2x{e}^{x^2} \\ 令：p(x)=-2x，q(x)=2x{e}^{x^2} \\ y=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C] \\ y=e^{-\int -2xdx}[\int 2x{e}^{x^2}{e}^{\int -2xdx}dx+C] \\ y=e^{x^2}[\int 2x{e}^{x^2}{e}^{-x^2}dx+C] \\ y=e^{x^2}(x^2+C)，其中C\in R \end{gathered}$$

练习2：伯努利方程$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+y^3}$的通解为？

解：$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+y^3}取倒得\frac{dx}{dy}=\frac{x+y^3}{y}=\frac{1}{x}y+y^2 \\ {x}^{{}^{\prime }}-\frac{1}{y}x=y^2令p(y)=-\frac{1}{y},q(x)=y^2 \\ 由一阶线性微分方程通解：x^{{}^{\prime }}=e^{\int -p(y)dy}[\int q(y)e^{\int p(y)dy}dy+C] \\ {x}^{{}^{\prime }}=y[\int ydy+C] \\ {x}^{{}^{\prime }}=y(\frac{y^2}{2}+C)，C\in R \end{gathered}$$

4、伯努利方程

方程$y^{{}^{\prime }}+p(x)y=q(x)y^n(其中n\ne 0,n\ne 1)$称为伯努利方程，原式化为$y^{-n}\frac{dy}{dx}+p(x)y^{1-n}=q(x)$，命$z=y^{1-n}$得$$\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x)$$
代入线性微分方程得通解，然后再代回y，便得原微分方程得通解：$$\begin{gathered} 令P(x)=(1-n)p(x)，Q(x)=(1-n)q(x) \\ z=e^{\int -P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int Q(x)dx}dx+C] \\ z=y^{1-n}\Rightarrow y=z^{\frac{1}{1-n}} \end{gathered}$$

练习1：求一阶常微分方程$y^{{}^{\prime }}-y+2\frac{x}{y}=0$得通解？

解：$$\begin{gathered} y^{{}^{\prime }}-y+2\frac{x}{y}=0\Rightarrow y{y}^{{}^{\prime }}-y^2=-2x \\ 令p(x)=-1,q(x)=-2x,z=y^2 \\ \frac{dz}{dx}=2y\frac{dy}{dx}\Rightarrow \frac{1}{2}\frac{dz}{dx}+p(x)dz=q(x) \\ z=e^{\int -2p(x)dx}[\int 2q(x)e^{\int 2p(x)dx}dx+C] \\ z=e^{2x}[\int -4x{e}^{-2x}dx+C] \\ z=e^{2x}(\int 2xd{e}^{2x}+C)=e^{2x}(2x{e}^{-2x}+\int e^{-2x}d(-2x)+C) \\ 由z=2x+1+C{e}^{2x} \\ 故原方程得通解：y^2=C{e}^{2x}+2x+1，C\in R \end{gathered}$$

5、全微分方程


若存在二元函数$u(x,y)$，使$$du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$
则称微分方程$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$为全微分方程，它的通解为$$u(x,y)=C$$

由曲线积分中有关的定理知，有下述定理：
设D为平面上的一个单连通区域，$P(x,y)与Q(x,y)$在D上连续且有连续的一阶偏导数，则全微分方程的充要条件是$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

练习1：求$\alpha$使$$(x^4+4x{y}^{\alpha })dx+(6x^{\alpha -1}{y}^2-5y^4)dy=0$$为全微分方程，并求该全微分方程的解

解 ：$$\begin{gathered} 由全微分充要条件可知：\frac{\partial }{\partial x}(6x^{\alpha -1}{y}^2-5y^4)=\frac{\partial }{\partial y}(x^4+4x{y}^{\alpha }) \\ 6(\alpha -1)x^{\alpha -2}{y}^2=4\alpha x{y}^{\alpha -1}\Rightarrow \alpha =3 \\ 当\alpha =3时，原方程为全微分方程，即存在二元函数u(x,y)，使得： \\ du(x,y)=(x^4+4x{y}^3)dx+(6x^2{y}^2-5y^4)dy \\ \frac{\partial u}{\partial x}=x^4+4x{y}^3 \\ u(x,y)=\frac{x^5}{5}+2x^2{y}^3+C(y) \\ \frac{\partial u}{\partial y}=6x^2{y}^2-5y^4 \\ 由\frac{\partial }{\partial y}(\frac{x^5}{5}+2x^2{y}^3+C(y))=6x^2{y}^2-5y^4 \\ {C}^{{}^{\prime }}(y)=-5y^4\Rightarrow C(y)=-y^5+C \\ 故全微分方程的解为：u(x,y)=\frac{x^5}{5}+2x^2{y}^3-y^5+C \end{gathered}$$